Докажи алгебраическое тождество с кубами

Давай попробуем упростить это выражение. Нам нужно доказать равенство: $$a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3$$ Для начала, давай попробуем избавиться от кубов у дробей, умножив обе части уравнения на $(a^3 - b^3)^3$. Тогда получим: $$(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)^3 + (b(2a^3 + b^3))^3 = (a(a^3 + 2b^3))^3$$ Теперь раскроем скобки и посмотрим, что получится. Сначала рассмотрим левую часть: $$(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)^3 + (b(2a^3 + b^3))^3 = (a^3 + b^3)(a^9 - 3a^6b^3 + 3a^3b^6 - b^9) + b^3(8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9)$$ Раскроем скобки: $$a^{12} - 3a^9b^3 + 3a^6b^6 - a^3b^9 + a^9b^3 - 3a^6b^6 + 3a^3b^9 - b^{12} + 8a^9b^3 + 12a^6b^6 + 6a^3b^9 + b^{12}$$ Теперь упростим, сгруппировав подобные члены: $$a^{12} + (-3a^9b^3 + a^9b^3 + 8a^9b^3) + (3a^6b^6 - 3a^6b^6 + 12a^6b^6) + (-a^3b^9 + 3a^3b^9 + 6a^3b^9) + (-b^{12} + b^{12})$$ $$a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9$$ Теперь рассмотрим правую часть: $$(a(a^3 + 2b^3))^3 = (a^4 + 2ab^3)^3$$ Раскроем скобки: $$a^{12} + 3a^8(2b^3) + 3a^4(4b^6) + 8b^9a^3 = a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9$$ Сравнивая левую и правую части, видим, что они равны: $$a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9 = a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9$$ Таким образом, исходное равенство верно. **Ответ: Равенство доказано**