Упрости выражение (3/2 a² - 2ab + 2/3 b²) / (1/4 a² - 1/9 b²) + 6b / (3/4 a + 1/2 b)

Конечно, давай упростим это выражение по шагам. Вот как мы можем это сделать: Исходное выражение выглядит так: $$ \frac{\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2} + \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} $$ Сначала рассмотрим первую дробь. Попробуем упростить числитель и знаменатель, чтобы увидеть, можно ли что-то сократить. Числитель: $\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2$ Знаменатель: $\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2$ Давай попробуем разложить знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В нашем случае $x = \frac{1}{2}a$ и $y = \frac{1}{3}b$. $$ \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2 = \left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b\right)\left(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b\right) $$ Теперь рассмотрим вторую дробь: $$ \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} $$ Чтобы упростить эту дробь, можно вынести $\frac{1}{4}$ из знаменателя: $$ \frac{6b}{\frac{1}{4}(3a + 2b)} = \frac{24b}{3a + 2b} $$ Теперь у нас есть упрощенное выражение: $$ \frac{\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2}{\left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b\right)\left(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b\right)} + \frac{24b}{3a + 2b} $$ Далее, давай попробуем упростить числитель первой дроби. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 6, чтобы избавиться от дробей: $$ \frac{6\left(\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2\right)}{6\left(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2\right)} = \frac{9a^2 - 12ab + 4b^2}{\frac{3}{2}a^2 - \frac{2}{3}b^2} $$ Числитель можно представить как $(3a - 2b)^2 = (3a - 2b)(3a - 2b)$. А знаменатель как $\frac{1}{6}(3a - 2b)(3a + 2b)$. Тогда первая дробь равна: $$ \frac{(3a - 2b)^2}{\frac{1}{6}(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{6(3a - 2b)}{3a + 2b} $$ Теперь всё выражение выглядит так: $$ \frac{6(3a - 2b)}{3a + 2b} + \frac{24b}{3a + 2b} $$ Теперь у нас есть общий знаменатель, так что мы можем сложить числители: $$ \frac{6(3a - 2b) + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a - 12b + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a + 12b}{3a + 2b} $$ Теперь вынесем 6 из числителя: $$ \frac{6(3a + 2b)}{3a + 2b} $$ И сократим: $$ 6 $$ Ответ: 6