Реши номер 1.24

Привет! Давай решим задачу 1.24 вместе. Условие задачи: Найди такое целое значение параметра $p$, при котором во множестве решений неравенства $(x + 2)(p - x) \ge 0$ содержатся: а) четыре целых числа; б) два натуральных числа; в) два целых числа; г) одно целое число. Решение: Сначала рассмотрим само неравенство: $$(x + 2)(p - x) \ge 0$$ Чтобы решить это неравенство, нам нужно рассмотреть, когда произведение двух множителей больше или равно нулю. Это происходит, когда оба множителя больше или равны нулю, или когда оба множителя меньше или равны нулю. Случай 1: Оба множителя больше или равны нулю $$x + 2 \ge 0 \quad \text{и} \quad p - x \ge 0$$ $$x \ge -2 \quad \text{и} \quad x \le p$$ Таким образом, $-2 \le x \le p$. Случай 2: Оба множителя меньше или равны нулю $$x + 2 \le 0 \quad \text{и} \quad p - x \le 0$$ $$x \le -2 \quad \text{и} \quad x \ge p$$ Таким образом, $p \le x \le -2$. Теперь посмотрим на варианты ответов: a) Четыре целых числа. В первом случае решения неравенства имеют вид $-2 \le x \le p$. Чтобы в этом промежутке было четыре целых числа, нужно, чтобы $p$ был равен 1. То есть, $-2 \le x \le 1$. Целые числа в этом промежутке: $-2, -1, 0, 1$. Их ровно четыре. Проверим второй случай. Второй случай решения неравенства имеют вид $p \le x \le -2$. Чтобы в этом промежутке было четыре целых числа, нужно, чтобы $p$ был равен $-5$. То есть, $-5 \le x \le -2$. Целые числа в этом промежутке: $-5, -4, -3, -2$. Их ровно четыре. Значит, $p = 1$ или $p = -5$ подходят под этот вариант. б) Два натуральных числа. Натуральные числа — это целые положительные числа, начиная с 1. В первом случае решения неравенства имеют вид $-2 \le x \le p$. Чтобы в этом промежутке было два натуральных числа, нужно, чтобы $p$ был равен 2. То есть, $-2 \le x \le 2$. Натуральные числа в этом промежутке: $1, 2$. Их ровно два. Проверим второй случай. Второй случай решения неравенства имеют вид $p \le x \le -2$. Натуральных чисел в этом промежутке не может быть, так как $x \le -2$. Значит, $p = 2$ подходит под этот вариант. в) Два целых числа. В первом случае решения неравенства имеют вид $-2 \le x \le p$. Чтобы в этом промежутке было два целых числа, нужно, чтобы $p$ был равен $-1$. То есть, $-2 \le x \le -1$. Целые числа в этом промежутке: $-2, -1$. Их ровно два. Проверим второй случай. Второй случай решения неравенства имеют вид $p \le x \le -2$. Чтобы в этом промежутке было два целых числа, нужно, чтобы $p$ был равен $-3$. То есть, $-3 \le x \le -2$. Целые числа в этом промежутке: $-3, -2$. Их ровно два. Значит, $p = -1$ или $p = -3$ подходят под этот вариант. г) Одно целое число. В первом случае решения неравенства имеют вид $-2 \le x \le p$. Чтобы в этом промежутке было одно целое число, нужно, чтобы $p$ был равен $-2$. То есть, $-2 \le x \le -2$. Целое число в этом промежутке: $-2$. Оно ровно одно. Проверим второй случай. Второй случай решения неравенства имеют вид $p \le x \le -2$. Чтобы в этом промежутке было одно целое число, нужно, чтобы $p$ был равен $-2$. То есть, $-2 \le x \le -2$. Целое число в этом промежутке: $-2$. Оно ровно одно. Значит, $p = -2$ подходит под этот вариант. Ответы: а) $p = 1$ или $p = -5$ б) $p = 2$ в) $p = -1$ или $p = -3$ г) $p = -2$