Привет! Давай решим задачу 1.23 по алгебре. Нам нужно найти значения параметра $p$, при которых уравнение $(p + 4)x^2 + 2px + 2 = 0$ имеет один корень, два корня или хотя бы один корень.
a) Уравнение имеет один корень.
Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант равен нулю. Но сначала нам нужно рассмотреть случай, когда $p + 4 = 0$, так как в этом случае уравнение становится линейным.
* Если $p + 4 = 0$, то $p = -4$. Подставим это значение в уравнение:
$$(-4 + 4)x^2 + 2(-4)x + 2 = 0$$
$$0x^2 - 8x + 2 = 0$$
$$-8x + 2 = 0$$
$$8x = 2$$
$$x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$
В этом случае уравнение имеет один корень $x = \frac{1}{4}$. Значит, $p = -4$ подходит.
* Теперь рассмотрим случай, когда $p + 4 \ne 0$. Тогда уравнение является квадратным. Найдем дискриминант $D$:
$$D = (2p)^2 - 4(p + 4)(2) = 4p^2 - 8(p + 4) = 4p^2 - 8p - 32$$
Чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю:
$$4p^2 - 8p - 32 = 0$$
Разделим обе части на 4:
$$p^2 - 2p - 8 = 0$$
Решим это квадратное уравнение относительно $p$. Можно использовать теорему Виета или квадратное уравнение. Разложим на множители:
$$(p - 4)(p + 2) = 0$$
Тогда $p = 4$ или $p = -2$.
Таким образом, уравнение имеет один корень при $p = -4$, $p = 4$ или $p = -2$.
б) Уравнение имеет два корня.
Квадратное уравнение имеет два корня, когда его дискриминант больше нуля. Мы уже нашли дискриминант:
$$D = 4p^2 - 8p - 32$$
Нам нужно решить неравенство:
$$4p^2 - 8p - 32 > 0$$
Разделим обе части на 4:
$$p^2 - 2p - 8 > 0$$
Мы уже знаем, что $(p - 4)(p + 2) = 0$ при $p = 4$ и $p = -2$. Теперь нам нужно определить, когда $(p - 4)(p + 2) > 0$.
Рассмотрим числовую прямую:
----(-2)----(4)-----> p
* При $p < -2$, оба множителя $(p - 4)$ и $(p + 2)$ отрицательны, поэтому их произведение положительно.
* При $-2 < p < 4$, множитель $(p - 4)$ отрицателен, а множитель $(p + 2)$ положителен, поэтому их произведение отрицательно.
* При $p > 4$, оба множителя $(p - 4)$ и $(p + 2)$ положительны, поэтому их произведение положительно.
Значит, $p^2 - 2p - 8 > 0$ при $p < -2$ или $p > 4$.
в) Уравнение имеет хотя бы один корень.
Уравнение имеет хотя бы один корень, когда оно имеет один или два корня.
Мы уже знаем, что уравнение имеет один корень при $p = -4$, $p = 4$ или $p = -2$.
Также, уравнение имеет два корня при $p < -2$ или $p > 4$.
Объединим эти условия:
* $p = -4$ подходит, так как при этом есть один корень.
* $p = -2$ подходит, так как при этом есть один корень.
* $p = 4$ подходит, так как при этом есть один корень.
* $p < -2$ подходит, так как при этом есть два корня.
* $p > 4$ подходит, так как при этом есть два корня.
Таким образом, уравнение имеет хотя бы один корень при $p \le -2$ или $p \ge 4$, а также при $p = -4$. Но так как $p=-4$ уже включено в интервал $p \le -2$, то достаточно указать $p \le -2$ или $p \ge 4$.
**Ответ:**
а) $p = -4$, $p = -2$, $p = 4$;
б) $p < -2$ или $p > 4$;
в) $p \le -2$ или $p \ge 4$.
