П

Привет! Давай решим задачи по геометрии. 1. В треугольнике $ABC$ известно, что $DE$ – средняя линия. Площадь треугольника $CDE$ равна 8. Найдите площадь треугольника $ABC$. Решение: Средняя линия треугольника делит его на два подобных треугольника, причем коэффициент подобия равен 2 (так как средняя линия в два раза меньше основания). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. То есть, $S_{ABC} / S_{CDE} = 2^2 = 4$. Значит, $S_{ABC} = 4 \cdot S_{CDE} = 4 \cdot 8 = 32$. Ответ: 32 2. Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, деленную на $\sqrt{3}$. Решение: Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. В нашем случае $a = 10$, поэтому $S = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$. Теперь разделим площадь на $\sqrt{3}$: $\frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25$. Ответ: 25 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13. Решение: Для начала найдем второй катет. По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. В нашем случае $12^2 + b^2 = 13^2$, то есть $144 + b^2 = 169$. Значит, $b^2 = 169 - 144 = 25$, и $b = \sqrt{25} = 5$. Теперь найдем площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$. Ответ: 30 4. Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона — 78. Найдите площадь треугольника. Решение: Пусть $P$ — периметр, $a$ — боковая сторона, $b$ — основание. Тогда $P = 2a + b$. $216 = 2 \cdot 78 + b$, значит $216 = 156 + b$, и $b = 216 - 156 = 60$. Теперь найдем высоту, проведенную к основанию. Обозначим её за $h$. Высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, поэтому она делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $b/2 = 30$ и гипотенузой $a = 78$. По теореме Пифагора: $h^2 + 30^2 = 78^2$, то есть $h^2 + 900 = 6084$. Значит, $h^2 = 6084 - 900 = 5184$, и $h = \sqrt{5184} = 72$. Теперь найдем площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 72 = 30 \cdot 72 = 2160$. Ответ: 2160 5. Сторона треугольника равна 12, а высота, проведенная к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника. Решение: Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. В нашем случае $a = 12$, $h = 33$, поэтому $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 33 = 6 \cdot 33 = 198$. Ответ: 198 6. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника. Решение: Так как один из острых углов равен 45°, то и второй острый угол равен $90° - 45° = 45°$. Значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник. Пусть катеты равны $a$. Тогда по теореме Пифагора $a^2 + a^2 = 10^2$, то есть $2a^2 = 100$. Значит, $a^2 = 50$, и $a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 2 = 25$. Ответ: 25 7. Площадь прямоугольного треугольника равна $18\sqrt{3}$. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу. Решение: Пусть $a$ — катет, прилежащий к углу 60°, а $b$ — катет, противолежащий этому углу. Тогда $\tan(60°) = \frac{b}{a}$, и $b = a \cdot \tan(60°) = a \sqrt{3}$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}$. Нам известно, что $S = 18\sqrt{3}$, поэтому $\frac{a^2 \sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$. Значит, $a^2 = 36$, и $a = \sqrt{36} = 6$. Ответ: 6 8. Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, деленную на $\sqrt{3}$. Решение: Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника. Тогда $P = 3a$, и $3a = 30$, значит $a = 10$. Площадь равностороннего треугольника $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$. Теперь разделим площадь на $\sqrt{3}$: $\frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25$. Ответ: 25 9. Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 20, а радиус вписанной в него окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника. Решение: Площадь треугольника можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности. Периметр равен 50, значит полупериметр $p = \frac{50}{2} = 25$. Радиус вписанной окружности $r = 4$. Тогда площадь $S = 25 \cdot 4 = 100$. Ответ: 100 Надеюсь, мои объяснения были понятными! Удачи в учёбе!