Решите

Привет! Давай вместе решим эти уравнения. 1. Найдите корень уравнения $8^{x} = 8$. Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить, что если основания степеней равны, то и показатели должны быть равны. В данном случае у нас $8$ в степени $x$ равно $8$ в степени $1$ (так как любое число в первой степени равно самому себе). $$8^x = 8^1$$ Значит, $x = 1$. Ответ: $x = 1$ 2. Найдите корень уравнения $2^{x-7} = \frac{1}{4}$. Представим $\frac{1}{4}$ как степень числа $2$. Мы знаем, что $\frac{1}{4} = 2^{-2}$. Тогда уравнение можно переписать так: $$2^{x-7} = 2^{-2}$$ Теперь мы можем приравнять показатели степеней: $$x - 7 = -2$$ Решим это уравнение относительно $x$: $$x = -2 + 7$$ $$x = 5$$ Ответ: $x = 5$ 3. Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{4}\right)^{4x-10} = \frac{1}{16}$. Заметим, что $\frac{1}{16}$ можно представить как $\left(\frac{1}{4}\right)^2$. Тогда уравнение примет вид: $$\left(\frac{1}{4}\right)^{4x-10} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$$ Приравняем показатели степеней: $$4x - 10 = 2$$ Решим уравнение относительно $x$: $$4x = 2 + 10$$ $$4x = 12$$ $$x = \frac{12}{4}$$ $$x = 3$$ Ответ: $x = 3$ 4. Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{2}\right)^{18-3x} = 64$. Представим $64$ как степень числа $\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $64 = 2^6$, а $2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$. Следовательно, $64 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6}$. Теперь уравнение можно переписать: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{18-3x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6}$$ Приравняем показатели степеней: $$18 - 3x = -6$$ Решим уравнение относительно $x$: $$-3x = -6 - 18$$ $$-3x = -24$$ $$x = \frac{-24}{-3}$$ $$x = 8$$ Ответ: $x = 8$ 5. Найдите корень уравнения $4^{x-4} = \frac{1}{2}$. Представим обе части уравнения как степени числа $2$. Мы знаем, что $4 = 2^2$, а $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда уравнение можно переписать так: $$(2^2)^{x-4} = 2^{-1}$$ $$2^{2(x-4)} = 2^{-1}$$ Приравняем показатели степеней: $$2(x-4) = -1$$ $$2x - 8 = -1$$ Решим уравнение относительно $x$: $$2x = -1 + 8$$ $$2x = 7$$ $$x = \frac{7}{2}$$ $$x = 3,5$$ Ответ: $x = 3,5$ 6. Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{25}\right)^{x-1} = 5$. Представим обе части уравнения как степени числа $5$. Мы знаем, что $\frac{1}{25} = 5^{-2}$. Тогда уравнение можно переписать: $$(5^{-2})^{x-1} = 5^1$$ $$5^{-2(x-1)} = 5^1$$ Приравняем показатели степеней: $$-2(x-1) = 1$$ $$-2x + 2 = 1$$ Решим уравнение относительно $x$: $$-2x = 1 - 2$$ $$-2x = -1$$ $$x = \frac{-1}{-2}$$ $$x = 0,5$$ Ответ: $x = 0,5$ 7. Найдите корень уравнения $7^{9+x} = 49$. Представим $49$ как степень числа $7$. Мы знаем, что $49 = 7^2$. Тогда уравнение можно переписать: $$7^{9+x} = 7^2$$ Приравняем показатели степеней: $$9 + x = 2$$ Решим уравнение относительно $x$: $$x = 2 - 9$$ $$x = -7$$ Ответ: $x = -7$ 8. Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{4}\right)^{2+x} = 64$. Представим обе части уравнения как степени числа $4$. Мы знаем, что $\frac{1}{4} = 4^{-1}$, а $64 = 4^3$. Тогда уравнение можно переписать: $$(4^{-1})^{2+x} = 4^3$$ $$4^{-(2+x)} = 4^3$$ Приравняем показатели степеней: $$-(2+x) = 3$$ $$-2 - x = 3$$ Решим уравнение относительно $x$: $$-x = 3 + 2$$ $$-x = 5$$ $$x = -5$$ Ответ: $x = -5$ 9. Найдите решение уравнения $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} = 81^x$. Представим обе части уравнения как степени числа $3$. Мы знаем, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, а $81 = 3^4$. Тогда уравнение можно переписать: $$(3^{-1})^{x+1} = (3^4)^x$$ $$3^{-(x+1)} = 3^{4x}$$ Приравняем показатели степеней: $$-(x+1) = 4x$$ $$-x - 1 = 4x$$ Решим уравнение относительно $x$: $$-1 = 4x + x$$ $$-1 = 5x$$ $$x = \frac{-1}{5}$$ $$x = -0,2$$ Ответ: $x = -0,2$ 10. Решите уравнение $9^{6+x} = 81^x$. Представим обе части уравнения как степени числа $9$. Мы знаем, что $81 = 9^2$. Тогда уравнение можно переписать: $$9^{6+x} = (9^2)^x$$ $$9^{6+x} = 9^{2x}$$ Приравняем показатели степеней: $$6 + x = 2x$$ Решим уравнение относительно $x$: $$6 = 2x - x$$ $$6 = x$$ $$x = 6$$ Ответ: $x = 6$ 11. Решите уравнение $2^{3-4x} = 0,16 \cdot 5^{3-4x}$. Перепишем уравнение: $$2^{3-4x} = 0,16 \cdot 5^{3-4x}$$ $$2^{3-4x} = \frac{16}{100} \cdot 5^{3-4x}$$ $$2^{3-4x} = \frac{4}{25} \cdot 5^{3-4x}$$ $$2^{3-4x} = \frac{2^2}{5^2} \cdot 5^{3-4x}$$ $$2^{3-4x} = 2^2 \cdot 5^{3-4x-2}$$ $$2^{3-4x} = 2^2 \cdot 5^{1-4x}$$ Разделим обе части на $2^2$: $$\frac{2^{3-4x}}{2^2} = 5^{1-4x}$$ $$2^{3-4x-2} = 5^{1-4x}$$ $$2^{1-4x} = 5^{1-4x}$$ $$\left(\frac{2}{5}\right)^{1-4x} = 1$$ Чтобы степень равнялась $1$, показатель должен быть равен $0$: $$1 - 4x = 0$$ $$4x = 1$$ $$x = \frac{1}{4}$$ $$x = 0,25$$ Ответ: $x = 0,25$ 12. Решите уравнение $6^{3-x} = 0,6 \cdot 10^{3-x}$. Перепишем уравнение: $$6^{3-x} = 0,6 \cdot 10^{3-x}$$ $$6^{3-x} = \frac{6}{10} \cdot 10^{3-x}$$ $$6^{3-x} = 6 \cdot 10^{3-x-1}$$ $$6^{3-x} = 6 \cdot 10^{2-x}$$ Разделим обе части на $6$: $$\frac{6^{3-x}}{6} = 10^{2-x}$$ $$6^{3-x-1} = 10^{2-x}$$ $$6^{2-x} = 10^{2-x}$$ $$\frac{6^{2-x}}{10^{2-x}} = 1$$ $$\left(\frac{6}{10}\right)^{2-x} = 1$$ $$\left(\frac{3}{5}\right)^{2-x} = 1$$ Чтобы степень равнялась $1$, показатель должен быть равен $0$: $$2 - x = 0$$ $$x = 2$$ Ответ: $x = 2$ Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если возникнут ещё вопросы, обязательно спрашивай.