Упростить выражение (6a)/(2.5a²-0.64) - 8/(6a-3.2)

Конечно, давай упростим это выражение вместе! Для начала запишем исходное выражение: $$ \frac{6a}{2.5a^2 - 0.64} - \frac{8}{6a - 3.2} $$ Теперь нам нужно упростить знаменатели. Заметим, что $2.5 = \frac{5}{2}$, а $0.64 = \frac{64}{100} = \frac{16}{25}$. Также можно заметить, что $2.5a^2 - 0.64$ похоже на разность квадратов. Давай попробуем это использовать. $$2.5a^2 - 0.64 = \frac{5}{2}a^2 - \frac{16}{25} = \frac{5}{2}a^2 - (\frac{4}{5})^2$$ Чтобы привести это к разности квадратов, нужно, чтобы первый член тоже был квадратом. Заметим, что $\frac{5}{2} = (\sqrt{\frac{5}{2}})^2$. Значит, можно переписать знаменатель первой дроби как: $$(\sqrt{\frac{5}{2}}a)^2 - (\frac{4}{5})^2$$ Но это не сильно упрощает задачу. Попробуем другой подход. Заметим, что $2.5 = \frac{5}{2}$ и $0.64 = (\frac{8}{10})^2 = (\frac{4}{5})^2$. Тогда можно переписать первый знаменатель как: $$2.5a^2 - 0.64 = \frac{5}{2}a^2 - \frac{16}{25}$$ Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2, а числитель и знаменатель второй дроби на $\frac{5}{2}$: $$ \frac{6a}{2.5a^2 - 0.64} = \frac{12a}{5a^2 - 1.28} $$ $$ \frac{8}{6a - 3.2} = \frac{8 \cdot \frac{5}{2}}{(6a - 3.2) \cdot \frac{5}{2}} = \frac{20}{15a - 8} $$ Это тоже не сильно помогает. Вернемся к исходному выражению и попробуем вынести общий множитель из знаменателя второй дроби: $$ 6a - 3.2 = 2(3a - 1.6) $$ Тогда исходное выражение можно переписать как: $$ \frac{6a}{2.5a^2 - 0.64} - \frac{8}{6a - 3.2} = \frac{6a}{2.5a^2 - 0.64} - \frac{8}{2(3a - 1.6)} = \frac{6a}{2.5a^2 - 0.64} - \frac{4}{3a - 1.6} $$ Теперь попробуем разложить на множители первый знаменатель. Заметим, что $2.5 = \frac{5}{2}$, а $0.64 = (\frac{4}{5})^2 = 0.8^2$. Тогда: $$ 2.5a^2 - 0.64 = \frac{5}{2}a^2 - (\frac{4}{5})^2 = (\sqrt{\frac{5}{2}}a - \frac{4}{5})(\sqrt{\frac{5}{2}}a + \frac{4}{5}) $$ Или, если умножить на 2.5: $$ \frac{5}{2}a^2 - \frac{16}{25} = \frac{1}{2 \cdot 25}(25 a^2 - \frac{32}{5}) $$ Заметим, что $2.5 a^2 - 0.64 = \frac{5}{2} a^2 - \frac{16}{25}$. Попробуем умножить числитель и знаменатель первой дроби на 2: $$ \frac{6a}{2.5a^2 - 0.64} = \frac{12a}{5a^2 - 1.28} $$ Теперь попробуем умножить числитель и знаменатель второй дроби на 5/2: $$ \frac{4}{3a - 1.6} = \frac{10}{7.5 a - 4} $$ Заметим, что $2.5a^2 - 0.64 = ( \sqrt{2.5}a - 0.8)(\sqrt{2.5}a + 0.8)$. Попробуем привести к общему знаменателю: $$ \frac{6a}{2.5a^2 - 0.64} - \frac{4}{3a - 1.6} = \frac{6a(3a-1.6) - 4(2.5a^2 - 0.64)}{(2.5a^2 - 0.64)(3a-1.6)} = \frac{18a^2 - 9.6a - 10a^2 + 2.56}{(2.5a^2 - 0.64)(3a-1.6)} = \frac{8a^2 - 9.6a + 2.56}{(2.5a^2 - 0.64)(3a-1.6)} $$ $$ 8a^2 - 9.6a + 2.56 = (5a-1.6)(1.6a - 1.6) = (4a - 0.8)^2 = (4a-0.8)(2a - 3.2) $$ Заметим, что $2.5a^2 - 0.64 = \frac{5}{2}a^2 - \frac{16}{25} = \frac{125a^2 - 32}{50}$. А $3a - 1.6 = \frac{15a - 8}{5}$. Попробуем еще раз: $$ \frac{6a}{2.5a^2 - 0.64} - \frac{4}{3a - 1.6} = \frac{6a(3a - 1.6) - 4(2.5a^2 - 0.64)}{(2.5a^2 - 0.64)(3a - 1.6)} = \frac{18a^2 - 9.6a - 10a^2 + 2.56}{(2.5a^2 - 0.64)(3a - 1.6)} = \frac{8a^2 - 9.6a + 2.56}{(2.5a^2 - 0.64)(3a - 1.6)} $$ $$ 8a^2 - 9.6a + 2.56 = 4(2a^2 - 2.4a + 0.64) = 4( \sqrt{2}a - 0.8)^2 $$ $$ 2.5a^2 - 0.64 = ( \sqrt{2.5}a - 0.8)( \sqrt{2.5}a + 0.8) $$ $$ 3a - 1.6 = 1.5(2a - \frac{3.2}{3}) $$ Рассмотрим числитель: $8a^2 - 9.6a + 2.56$. Заметим, что $8 = 2 \cdot 4$, $9.6 = 2 \cdot 4.8$, $2.56 = 1.6^2$. $$ \frac{8a^2 - 9.6a + 2.56}{(2.5a^2 - 0.64)(3a - 1.6)} = \frac{(4a-1.6)(2a - 1.6)}{(2.5a^2 - 0.64)(3a - 1.6)} $$ Но $3a - 1.6 = \frac{3}{2}(2a - \frac{3.2}{3})$. Заметим, что $2.5 a^2 - 0.64 = \frac{5}{2}a^2 - (\frac{4}{5})^2$. Тогда: $$ \frac{6a}{\frac{5}{2}a^2 - \frac{16}{25}} - \frac{4}{3a - \frac{8}{5}} = \frac{6a}{\frac{5}{2}(a^2 - \frac{32}{125})} - \frac{4}{3(a - \frac{8}{15})} $$ Попробуем представить $2.5a^2 - 0.64$ как $(1.58a - 0.8)(1.58a + 0.8)$. $$ \frac{6a}{(1.58a - 0.8)(1.58a + 0.8)} - \frac{4}{3a - 1.6} = \frac{6a}{(1.58a - 0.8)(1.58a + 0.8)} - \frac{4}{2(1.5a - 0.8)} $$ Нужно внимательно посмотреть на выражение: $$ \frac{6a}{2.5a^2 - 0.64} - \frac{8}{6a - 3.2} $$ Попробуем разложить знаменатели: $$ 2.5a^2 - 0.64 = \frac{5}{2}a^2 - \frac{16}{25} = \frac{125a^2 - 32}{50} $$ $$ 6a - 3.2 = \frac{30a - 16}{5} = 6(a - \frac{16}{30}) = 6(a - \frac{8}{15}) $$ Тогда: $$ \frac{6a}{\frac{125a^2 - 32}{50}} - \frac{8}{\frac{30a - 16}{5}} = \frac{300a}{125a^2 - 32} - \frac{40}{30a - 16} = \frac{300a}{125a^2 - 32} - \frac{20}{15a - 8} = \frac{300a(15a - 8) - 20(125a^2 - 32)}{(125a^2 - 32)(15a - 8)} = \frac{4500a^2 - 2400a - 2500a^2 + 640}{(125a^2 - 32)(15a - 8)} = \frac{2000a^2 - 2400a + 640}{(125a^2 - 32)(15a - 8)} $$ $$ = \frac{160(12.5a^2 - 15a + 4)}{(125a^2 - 32)(15a - 8)} = \frac{160(\frac{25}{2}a^2 - 15a + 4)}{(125a^2 - 32)(15a - 8)} $$ Попробуем еще раз упростить знаменатель первой дроби: $$ 2.5a^2 - 0.64 = \frac{5}{2}a^2 - \frac{16}{25} = \frac{5}{2}(a^2 - \frac{32}{125}) = \frac{5}{2}(a - \sqrt{\frac{32}{125}})(a + \sqrt{\frac{32}{125}}) $$ Похоже, что простого решения здесь нет. Ответ: Выражение упростить не удалось, так как не находится общих множителей для сокращения дробей.