Докажи тождество

Привет! Давай докажем тождества по очереди. а) Нужно доказать, что $\frac{m^2+3m-4}{m-1} = m+4$. Чтобы доказать это, разложим числитель дроби $m^2+3m-4$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $m^2+3m-4=0$. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: $$m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ В нашем случае $a=1$, $b=3$, $c=-4$. Подставляем значения: $$m = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$$ Итак, у нас два корня: $m_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $m_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ Теперь мы можем записать числитель в виде произведения $(m - 1)(m + 4)$. Тогда дробь принимает вид: $$\frac{(m-1)(m+4)}{m-1}$$ Сокращаем $(m-1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $m \neq 1$): $$\frac{(m-1)(m+4)}{m-1} = m+4$$ Таким образом, мы доказали, что $\frac{m^2+3m-4}{m-1} = m+4$. б) Нужно доказать, что $\frac{a^4-7a^2+1}{a^2+3a+1} = a^2-3a+1$. Для доказательства умножим правую часть на знаменатель левой части: $$(a^2 - 3a + 1)(a^2 + 3a + 1)$$ Раскроем скобки: $$a^4 + 3a^3 + a^2 - 3a^3 - 9a^2 - 3a + a^2 + 3a + 1$$ Приведем подобные слагаемые: $$a^4 + (3a^3 - 3a^3) + (a^2 - 9a^2 + a^2) + (-3a + 3a) + 1$$ $$a^4 - 7a^2 + 1$$ Мы получили исходный числитель левой части. Следовательно, равенство верно. в) Нужно доказать, что $\frac{a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3} = a+b$. Заметим, что числитель можно представить как $(a+b)^4$, а знаменатель как $(a+b)^3$. Тогда: $$\frac{(a+b)^4}{(a+b)^3} = a+b$$ Получаем $(a+b)^4 = (a+b)^3 \cdot (a+b)$, значит, при делении $(a+b)^4$ на $(a+b)^3$ получается $a+b$ (при условии, что $a+b \neq 0$). г) Нужно доказать, что $\frac{a^4-4a^3+10a^2-12a+9}{a^2-2a+3} = (a-1)^2+2$. Сначала упростим правую часть: $$(a-1)^2 + 2 = a^2 - 2a + 1 + 2 = a^2 - 2a + 3$$ Теперь посмотрим на левую часть. Заметим, что знаменатель дроби равен $a^2 - 2a + 3$. Чтобы доказать тождество, умножим $a^2 - 2a + 3$ на $a^2 - 2a + 3$: $$(a^2 - 2a + 3)(a^2 - 2a + 3) = a^4 - 2a^3 + 3a^2 - 2a^3 + 4a^2 - 6a + 3a^2 - 6a + 9 = a^4 - 4a^3 + 10a^2 - 12a + 9$$ Значит, $$\frac{a^4-4a^3+10a^2-12a+9}{a^2-2a+3} = a^2 - 2a + 3$$ И, следовательно, $$\frac{a^4-4a^3+10a^2-12a+9}{a^2-2a+3} = (a-1)^2+2$$ Все тождества доказаны!