Решите неравенство: х(х-3)(х+2)<0

Привет! Давай решим это неравенство вместе. Сначала определим нули функции, то есть значения $x$, при которых выражение $x(x-3)(x+2)$ равно нулю: $$x = 0, \quad x - 3 = 0, \quad x + 2 = 0$$ $$x = 0, \quad x = 3, \quad x = -2$$ Теперь отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на интервалы: ``` ----(-2)----(0)----(3)-----> X ``` У нас получились интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак выражения $x(x-3)(x+2)$ на каждом из этих интервалов. Для этого возьмем любое число из каждого интервала и подставим его в выражение. 1. Интервал $(-\infty, -2)$. Возьмем $x = -3$: $$(-3)(-3-3)(-3+2) = (-3)(-6)(-1) = -18 < 0$$ Значит, на этом интервале выражение отрицательное. 2. Интервал $(-2, 0)$. Возьмем $x = -1$: $$(-1)(-1-3)(-1+2) = (-1)(-4)(1) = 4 > 0$$ Значит, на этом интервале выражение положительное. 3. Интервал $(0, 3)$. Возьмем $x = 1$: $$(1)(1-3)(1+2) = (1)(-2)(3) = -6 < 0$$ Значит, на этом интервале выражение отрицательное. 4. Интервал $(3, +\infty)$. Возьмем $x = 4$: $$(4)(4-3)(4+2) = (4)(1)(6) = 24 > 0$$ Значит, на этом интервале выражение положительное. Нас интересуют интервалы, где выражение $x(x-3)(x+2)$ меньше нуля. Это интервалы $(-\infty, -2)$ и $(0, 3)$. Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 3)$.