5.49. На сторонах квадрата ABCD отмечены точки М, N, Р и Q так, что МP = NQ (рис. 5.17). MP не параллельно AD. NQ не параллельно AB. Докажите, что MP перпендикулярно NQ.

Привет! Давай докажем, что $MP$ перпендикулярно $NQ$. Доказательство: Рассмотрим квадрат $ABCD$, в котором на сторонах отмечены точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ так, что $MP = NQ$. Нужно доказать, что $MP \perp NQ$. 1. Введём координаты. Пусть сторона квадрата равна $a$. Поместим квадрат в систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0, 0)$, вершина $B$ имела координаты $(0, a)$, вершина $C$ имела координаты $(a, a)$, а вершина $D$ имела координаты $(a, 0)$. 2. Обозначим координаты точек. * $M(0, y_M)$, где $0 < y_M < a$ * $N(x_N, a)$, где $0 < x_N < a$ * $P(a, y_P)$, где $0 < y_P < a$ * $Q(x_Q, 0)$, где $0 < x_Q < a$ 3. Найдём векторы $MP$ и $NQ$. * $\overrightarrow{MP} = (a - 0, y_P - y_M) = (a, y_P - y_M)$ * $\overrightarrow{NQ} = (x_Q - x_N, 0 - a) = (x_Q - x_N, -a)$ 4. Условие равенства длин отрезков. По условию $MP = NQ$, значит: $$MP^2 = NQ^2$$ $$a^2 + (y_P - y_M)^2 = (x_Q - x_N)^2 + a^2$$ $$(y_P - y_M)^2 = (x_Q - x_N)^2$$ Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая: $$y_P - y_M = x_Q - x_N \quad \text{или} \quad y_P - y_M = -(x_Q - x_N)$$ 5. Условие перпендикулярности векторов. Чтобы векторы $\overrightarrow{MP}$ и $\overrightarrow{NQ}$ были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю: $$\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{NQ} = 0$$ $$a(x_Q - x_N) + (y_P - y_M)(-a) = 0$$ $$a(x_Q - x_N) - a(y_P - y_M) = 0$$ $$x_Q - x_N = y_P - y_M$$ Это условие выполняется только в первом случае, когда $y_P - y_M = x_Q - x_N$. 6. Анализ второго случая. Если $y_P - y_M = -(x_Q - x_N)$, то скалярное произведение: $$a(x_Q - x_N) - a(y_P - y_M) = a(x_Q - x_N) - a(-(x_Q - x_N)) = 2a(x_Q - x_N)$$ Чтобы это выражение было равно нулю, необходимо, чтобы $x_Q - x_N = 0$, что означает $x_Q = x_N$. В этом случае $y_P - y_M = 0$, то есть $y_P = y_M$. Это означает, что отрезки $MP$ и $NQ$ параллельны осям координат, а значит, перпендикулярны друг другу. 7. Вывод. В обоих случаях, либо $x_Q - x_N = y_P - y_M$, либо $x_Q = x_N$ и $y_P = y_M$, векторы $\overrightarrow{MP}$ и $\overrightarrow{NQ}$ перпендикулярны. Ответ: Отрезки $MP$ и $NQ$ перпендикулярны.