Найди предел lim (x->6) (x^2 - 3x - 18) / (x^2 - 36)

Привет! Давай решим этот предел вместе.

Сначала посмотрим на функцию: $$ \lim_{x \to 6} \frac{x^2 - 3x - 18}{x^2 - 36} $$

Если мы просто подставим $x = 6$, то получим неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Чтобы её раскрыть, нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - 3x - 18$. Ищем два числа, которые в сумме дают -3, а в произведении -18. Это числа -6 и 3. Значит, числитель раскладывается так: $$ x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3) $$

Знаменатель: $x^2 - 36$ — это разность квадратов, поэтому он раскладывается так: $$ x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6) $$

Теперь перепишем предел с разложенными на множители числителем и знаменателем: $$ \lim_{x \to 6} \frac{(x - 6)(x + 3)}{(x - 6)(x + 6)} $$

Сократим $(x - 6)$ в числителе и знаменателе: $$ \lim_{x \to 6} \frac{x + 3}{x + 6} $$

Теперь подставим $x = 6$: $$ \frac{6 + 3}{6 + 6} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $$

Ответ: $\frac{3}{4}$