реши задачу

Question

Вопрос:

реши задачу

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Конечно, решим задачу!

Дано: $sin \alpha = \frac{9}{41}$, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найти $sin(\alpha + 45^\circ)$.

Воспользуемся формулой синуса суммы: $$sin(\alpha + 45^\circ) = sin \alpha \cdot cos 45^\circ + cos \alpha \cdot sin 45^\circ$$

Нам известно $sin \alpha = \frac{9}{41}$. Нужно найти $cos \alpha$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$

Подставим известное значение $sin \alpha$: $$(\frac{9}{41})^2 + cos^2 \alpha = 1$$ $$cos^2 \alpha = 1 - (\frac{9}{41})^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681}$$

Тогда $cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm \frac{40}{41}$

Так как $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, то $\alpha$ находится во второй четверти, где косинус отрицательный. Следовательно, $cos \alpha = -\frac{40}{41}$

Теперь подставим значения $sin \alpha$, $cos \alpha$, $sin 45^\circ$ и $cos 45^\circ$ в формулу синуса суммы: $$sin(\alpha + 45^\circ) = sin \alpha \cdot cos 45^\circ + cos \alpha \cdot sin 45^\circ$$ $$sin(\alpha + 45^\circ) = \frac{9}{41} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{40}{41}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{82} - \frac{40\sqrt{2}}{82} = \frac{-31\sqrt{2}}{82}$$

Ответ: $sin(\alpha + 45^\circ) = -\frac{31\sqrt{2}}{82}$

реши задачу

Ответ ассистента

Другие решения