Найдите точку минимума функции

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Чтобы найти точку минимума функции $y = (2x^2 - 26x + 26)e^{x-17}$, нам нужно:

1. Найти производную функции $y'$
2. Приравнять производную к нулю и решить уравнение $y' = 0$
3. Определить знаки производной слева и справа от найденных точек

1. Находим производную $y'$:

Используем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. В нашем случае $u = 2x^2 - 26x + 26$, $v = e^{x-17}$.

Производная $u'$: $$u' = (2x^2 - 26x + 26)' = 4x - 26$$

Производная $v'$: $$v' = (e^{x-17})' = e^{x-17}$$

Теперь находим $y'$: $$y' = (4x - 26)e^{x-17} + (2x^2 - 26x + 26)e^{x-17}$$ $$y' = e^{x-17}(4x - 26 + 2x^2 - 26x + 26)$$ $$y' = e^{x-17}(2x^2 - 22x)$$ $$y' = 2xe^{x-17}(x - 11)$$

2. Приравниваем производную к нулю:

$$2xe^{x-17}(x - 11) = 0$$

Так как $e^{x-17}$ всегда больше нуля, то либо $x = 0$, либо $x - 11 = 0$.

Получаем два возможных значения: $$x_1 = 0$$ $$x_2 = 11$$

3. Определяем знаки производной:

Рассмотрим три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 11)$ и $(11, +\infty)$.

• Если $x < 0$, то $2x < 0$ и $(x - 11) < 0$, значит $y' > 0$.
• Если $0 < x < 11$, то $2x > 0$ и $(x - 11) < 0$, значит $y' < 0$.
• Если $x > 11$, то $2x > 0$ и $(x - 11) > 0$, значит $y' > 0$.

Получается, что в точке $x = 0$ производная меняет знак с "+" на "-", а в точке $x = 11$ с "-" на "+". Значит, $x = 0$ - это точка максимума, а $x = 11$ - это точка минимума.

Ответ: 11