Как найти точку максимума

Конечно, сейчас помогу!

Чтобы найти точку максимума функции $y = -\frac{x^2 + 196}{x}$, нужно сделать несколько шагов:

1. Найти производную функции.

$$y' = -\frac{(2x \cdot x) - (x^2 + 196) \cdot 1}{x^2} = -\frac{2x^2 - x^2 - 196}{x^2} = -\frac{x^2 - 196}{x^2} = \frac{196 - x^2}{x^2}$$

1. Приравнять производную к нулю и найти критические точки.

$$\frac{196 - x^2}{x^2} = 0$$ $$196 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 196$$ $$x = \pm 14$$

1. Определить знак производной на интервалах, чтобы понять, где функция возрастает и убывает.

2. $x < -14$: Например, $x = -15$, $y' = \frac{196 - (-15)^2}{(-15)^2} = \frac{196 - 225}{225} < 0$ (функция убывает)

3. $-14 < x < 0$: Например, $x = -1$, $y' = \frac{196 - (-1)^2}{(-1)^2} = \frac{195}{1} > 0$ (функция возрастает)
4. $0 < x < 14$: Например, $x = 1$, $y' = \frac{196 - (1)^2}{(1)^2} = \frac{195}{1} > 0$ (функция возрастает)

5. $x > 14$: Например, $x = 15$, $y' = \frac{196 - (15)^2}{(15)^2} = \frac{196 - 225}{225} < 0$ (функция убывает)

6. Сделать вывод о точках максимума и минимума.

7. В точке $x = -14$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

8. В точке $x = 14$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.

9. Так как у нас в условии стоит минус перед дробью, то знаки возрастания и убывания меняются местами.

10. $x < -14$: $y' > 0$ (функция возрастает)

11. $-14 < x < 0$: $y' < 0$ (функция убывает)
12. $0 < x < 14$: $y' < 0$ (функция убывает)

13. $x > 14$: $y' > 0$ (функция возрастает)

14. С учетом минуса перед дробью, делаем вывод:

    • В точке $x = -14$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.
    • В точке $x = 14$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Итак, точка максимума функции $y = -\frac{x^2 + 196}{x}$ это $x = -14$.

Ответ: -14