Найти наибольшее значение е функции на отрезке - 19;-17 включительно

Привет! Давай решим эту задачку вместе. Нам нужно найти наибольшее значение функции $y = (x + 20)^2 e^{-18-x}$ на отрезке $[-19; -17]$.

1. Находим производную функции:

Сначала найдем производную $y'$ нашей функции, чтобы определить точки экстремума. Используем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

В нашем случае: $u = (x + 20)^2$, $v = e^{-18-x}$

Тогда: $u' = 2(x + 20)$ $v' = -e^{-18-x}$

Теперь найдем производную $y'$: $$y' = 2(x + 20)e^{-18-x} + (x + 20)^2 (-e^{-18-x})$$ $$y' = e^{-18-x} [2(x + 20) - (x + 20)^2]$$ $$y' = e^{-18-x} (x + 20) [2 - (x + 20)]$$ $$y' = e^{-18-x} (x + 20) (-x - 18)$$ $$y' = -e^{-18-x} (x + 20) (x + 18)$$

2. Находим критические точки:

Приравняем производную к нулю: $$-e^{-18-x} (x + 20) (x + 18) = 0$$

Так как экспонента $e^{-18-x}$ всегда больше нуля, то: $$(x + 20) (x + 18) = 0$$

Отсюда получаем две критические точки: $x = -20$ и $x = -18$

3. Проверяем, какие точки входят в отрезок:

Наш отрезок $[-19; -17]$. $x = -20$ не входит в этот отрезок. $x = -18$ входит в этот отрезок.

4. Вычисляем значение функции на концах отрезка и в критической точке:

Теперь нам нужно вычислить значения функции $y$ на концах отрезка ($-19$ и $-17$) и в критической точке $x = -18$:

• $y(-19) = (-19 + 20)^2 e^{-18 - (-19)} = 1^2 e^{1} = e \approx 2.718$
• $y(-18) = (-18 + 20)^2 e^{-18 - (-18)} = 2^2 e^{0} = 4 \cdot 1 = 4$
• $y(-17) = (-17 + 20)^2 e^{-18 - (-17)} = 3^2 e^{-1} = 9e^{-1} = \frac{9}{e} \approx \frac{9}{2.718} \approx 3.311$

5. Выбираем наибольшее значение:

Сравниваем полученные значения: $2.718$, $4$, $3.311$. Наибольшее значение равно $4$.

Ответ: 4