Высота CH

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Нам дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов, гипотенуза AB = 15, и тангенс угла A равен $\frac{1}{3}$. Наша цель – найти высоту CH, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу.

Решение:

1. Обозначения:
   • Пусть AC = x, BC = y.
2. Выразим тангенс угла A:
   • $tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{y}{x} = \frac{1}{3}$
   • Отсюда следует, что $x = 3y$
3. Применим теорему Пифагора:
   • $AC^2 + BC^2 = AB^2$
   • $x^2 + y^2 = 15^2$
   • Подставим $x = 3y$: $(3y)^2 + y^2 = 225$
   • $9y^2 + y^2 = 225$
   • $10y^2 = 225$
   • $y^2 = 22.5$
   • $y = \sqrt{22.5} = \sqrt{\frac{45}{2}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$
4. Найдем x:
   • $x = 3y = 3 \cdot \frac{3\sqrt{10}}{2} = \frac{9\sqrt{10}}{2}$
5. Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:
   • $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y = \frac{1}{2} \cdot \frac{9\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{2} = \frac{27 \cdot 10}{8} = \frac{270}{8} = \frac{135}{4}$
   • $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot CH$
6. Приравняем оба выражения для площади и найдем CH:
   • $\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot CH = \frac{135}{4}$
   • $15 \cdot CH = \frac{135}{2}$
   • $CH = \frac{135}{2 \cdot 15} = \frac{135}{30} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5