Построй график функций

Привет! Давай разберем построение графиков функций, представленных на изображении. Начнем с первого примера.

а) $y = \frac{x^3 + x^2}{x + 1}$

Сначала упростим функцию, разложив числитель на множители: $$y = \frac{x^2(x + 1)}{x + 1}$$

Теперь можно сократить $(x + 1)$ в числителе и знаменателе, но важно помнить, что $x eq -1$, так как на ноль делить нельзя: $$y = x^2, \quad x eq -1$$

Это парабола $y = x^2$, но с выколотой точкой в $x = -1$. Найдем значение $y$ в этой точке: $y = (-1)^2 = 1$.

Таким образом, график - это парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(-1, 1)$.

б) $y = \frac{2x^2 - x^3}{x - 2}$

Разложим числитель на множители: $$y = \frac{x^2(2 - x)}{x - 2}$$

Преобразуем $(2 - x)$ в $-(x - 2)$: $$y = \frac{-x^2(x - 2)}{x - 2}$$

Сократим $(x - 2)$, помня, что $x eq 2$: $$y = -x^2, \quad x eq 2$$

Это перевернутая парабола $y = -x^2$ с выколотой точкой в $x = 2$. Найдем значение $y$ в этой точке: $y = -(2)^2 = -4$.

График - это парабола $y = -x^2$ с выколотой точкой $(2, -4)$.

в) $y = \frac{x^4 + x^3 - 2x^2}{(x - 1)(x + 2)}$

Разложим числитель на множители: $$y = \frac{x^2(x^2 + x - 2)}{(x - 1)(x + 2)}$$

Разложим квадратный трехчлен $x^2 + x - 2$. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Тогда: $$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$$

Подставим это в исходную функцию: $$y = \frac{x^2(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$$

Сократим $(x - 1)$ и $(x + 2)$, помня, что $x eq 1$ и $x eq -2$: $$y = x^2, \quad x eq 1, x eq -2$$

Это парабола $y = x^2$ с двумя выколотыми точками. Найдем значения $y$ в этих точках: Для $x = 1$: $y = (1)^2 = 1$. Выколотая точка $(1, 1)$. Для $x = -2$: $y = (-2)^2 = 4$. Выколотая точка $(-2, 4)$.

г) $y = \frac{x^3 + 2x^2 - x^4}{(x + 1)(x - 2)}$

Разложим числитель на множители: $$y = \frac{x^2(x + 2 - x^2)}{(x + 1)(x - 2)}$$ $$y = \frac{-x^2(x^2 - x - 2)}{(x + 1)(x - 2)}$$

Разложим квадратный трехчлен $x^2 - x - 2$. Его корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Тогда: $$x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$$

Подставим это в исходную функцию: $$y = \frac{-x^2(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)}$$

Сократим $(x + 1)$ и $(x - 2)$, помня, что $x eq -1$ и $x eq 2$: $$y = -x^2, \quad x eq -1, x eq 2$$

Это перевернутая парабола $y = -x^2$ с двумя выколотыми точками. Найдем значения $y$ в этих точках: Для $x = -1$: $y = -(-1)^2 = -1$. Выколотая точка $(-1, -1)$. Для $x = 2$: $y = -(2)^2 = -4$. Выколотая точка $(2, -4)$.

Надеюсь, теперь тебе понятнее, как строить графики таких функций!