Реши

Конечно, я помогу тебе с этими заданиями. Разберём их по порядку.

111.

а) Область определения функции $y = \frac{1}{x}$ — это все действительные числа, кроме $x = 0$. Потому что на ноль делить нельзя. б) График функции $y = \frac{1}{x}$ называется гиперболой. в) Гипербола имеет две ветви. г) Функция $y = \frac{1}{x}$ является нечётной. д) Функция $y = \frac{1}{x}$ непрерывна на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

112.

а) Вычислим значения функции $y = \frac{1}{x}$:

$y(1) = \frac{1}{1} = 1$ $y(3) = \frac{1}{3}$ $y(5) = \frac{1}{5}$ $y(10) = \frac{1}{10}$

б) $y(-1) = \frac{1}{-1} = -1$ $y(-2) = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$ $y(-8) = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$ $y(-9) = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9}$

в) $y(\frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ $y(\frac{1}{3}) = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$ $y(\frac{1}{4}) = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$

г) $y(1,5) = y(\frac{3}{2}) = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$ $y(-5\frac{1}{2}) = y(-\frac{11}{2}) = \frac{1}{-\frac{11}{2}} = -\frac{2}{11}$ $y(-3\frac{1}{3}) = y(-\frac{10}{3}) = \frac{1}{-\frac{10}{3}} = -\frac{3}{10}$

113.

а) Функция $y = \frac{1}{x}$ убывает на промежутках $[1; +\infty)$, $(0; 1]$, $[-1; 0)$, $(-\infty; 0)$. б) Функция $y = \frac{1}{x}$ не определена при $x = 0$. в) Функция $y = \frac{1}{x}$ не может принять значение 0.

114.

а) Докажем, что функция $y = \frac{1}{x}$ нечётная. Функция называется нечётной, если $y(-x) = -y(x)$. $$y(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -y(x)$$ Значит, функция $y = \frac{1}{x}$ нечётная. б) Докажем, что функция $y = \frac{1}{x}$ убывает при $x < 0$. Возьмём два значения $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2 < 0$. Тогда $\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}$, то есть $y(x_1) > y(x_2)$. Это означает, что функция убывает.

115.

а) Расположим значения функции $y = \frac{1}{x}$ в порядке возрастания: Сначала вычислим значения: $y(1) = 1$ $y(1,5) = \frac{2}{3}$ $y(3) = \frac{1}{3}$ $y(\frac{2}{3}) = \frac{3}{2} = 1,5$ $y(5\frac{1}{2}) = y(\frac{11}{2}) = \frac{2}{11}$ Теперь расположим в порядке возрастания: $y(5\frac{1}{2}); y(3); y(1,5); y(1); y(\frac{2}{3})$ или $\frac{2}{11}; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; 1; 1,5$ б) $y(-0,8) = -\frac{5}{4} = -1,25$ $y(-1) = -1$ $y(-3) = -\frac{1}{3}$ $y(-\frac{1}{3}) = -3$ В порядке возрастания: $y(-\frac{1}{3}); y(-1,25); y(-1); y(-\frac{1}{3})$ или $-3; -1,25; -1; -\frac{1}{3}$

116.

Тут нужно построить график функции $y = \frac{1}{x}$ на координатной плоскости. Сначала построим точки для положительных значений $x$, потом отметим точки с абсциссами 5, 6, 7, $\frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}$. Затем, используя нечётность функции, отразим эту часть графика относительно начала координат, чтобы получить левую ветвь гиперболы.

117.

а) Чтобы определить значение $y$, если $x$ равен 0,2; 0,3; 0,8, нужно посмотреть на график и найти соответствующие значения $y$ для этих $x$. б) Аналогично, чтобы найти значение $y$, если $x$ равен -3,5; -1,8; -0,4, нужно найти значения $y$ на графике. в) Чтобы определить значение $x$, если $y(x) = 3; y(x) = 5; y(x) = -2$, нужно найти на графике соответствующие значения $x$ для этих $y$.

Надеюсь, это поможет! Если тебе нужно что-то уточнить, спрашивай.