Реши

Давай решим задачу 18.

Задача 18: Образующая конуса равна 6 см, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите объём конуса.

Решение:

1. Представим себе конус. Осевое сечение – это равнобедренный треугольник, образованный двумя образующими и диаметром основания. Угол при вершине этого треугольника (между образующими) равен 90°.
2. Так как треугольник равнобедренный и угол при вершине 90°, то углы при основании равны (180° - 90°) / 2 = 45°. Значит, осевое сечение – это прямоугольный равнобедренный треугольник.
3. В прямоугольном равнобедренном треугольнике катеты равны, и они же являются радиусами основания конуса (r). Образующая конуса (l) является гипотенузой этого треугольника и равна 6 см.
4. По теореме Пифагора: r^2 + r^2 = l^2, то есть 2 * r^2 = 6^2 = 36.
5. Отсюда r^2 = 18, значит r = √18 = 3√2 см.
6. Высота конуса (h) в данном случае равна радиусу основания (так как осевое сечение – прямоугольный треугольник), то есть h = 3√2 см.
7. Объём конуса (V) вычисляется по формуле: V = (1/3) * π * r^2 * h.
8. Подставляем значения: V = (1/3) * π * (3√2)^2 * (3√2) = (1/3) * π * 18 * 3√2 = 18π√2 кубических сантиметров.

Ответ: Объём конуса равен 18π√2 см³