Выполнить все задания

Конечно, выполню все задания.

1. Найдите производные тригонометрических функций: A) f(x) = 3sinx + 2cosx Производная sinx = cosx, производная cosx = -sinx. f'(x) = 3cosx - 2sinx Ответ: A) f'(x) = 3cosx - 2sinx

B) f(x) = ctgx - 1 Производная ctgx = -1/sin^2(x) = -cosec^2(x), производная константы равна 0. f'(x) = -1/sin^2(x) Ответ: B) f'(x) = -1/sin^2(x)

C) y = tg x + sin x Производная tgx = 1/cos^2(x), производная sinx = cosx. y' = 1/cos^2(x) + cosx Ответ: C) y' = 1/cos^2(x) + cosx

D) f(x) = 2cosx - tg x Производная cosx = -sinx, производная tgx = 1/cos^2(x). f'(x) = -2sinx - 1/cos^2(x) Ответ: D) f'(x) = -2sinx - 1/cos^2(x)

1. Вычислите логарифм: A) log₂ 16 log₂ 16 = log₂ 2^4 = 4 Ответ: A) 4

B) log₅ 0,04 log₅ 0,04 = log₅ (4/100) = log₅ (1/25) = log₅ (5^-2) = -2 Ответ: B) -2

C) log₃ 1/81 log₃ 1/81 = log₃ (3^-4) = -4 Ответ: C) -4

D) log₉ √9 log₉ √9 = log₉ 3 = log₉ 9^(1/2) = 1/2 Ответ: D) 1/2

1. Напишите степень с рациональным показателем в виде корня n-й степени: A) 8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4 Ответ: A) 4

B) 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8 Ответ: B) 8

C) 0,25^(-1/2) = (1/4)^(-1/2) = 4^(1/2) = √4 = 2 Ответ: C) 2

D) 64^(-1/2) = 1/√64 = 1/8 Ответ: D) 1/8

1. Вычислите интегралы: A) ∫₁² (2x - 3) dx = [x² - 3x]₁² = (2² - 32) - (1² - 31) = (4 - 6) - (1 - 3) = -2 - (-2) = 0 Ответ: A) 0

B) ∫₁² (5 - 4x) dx = [5x - 2x²]₁² = (52 - 22²) - (51 - 21²) = (10 - 8) - (5 - 2) = 2 - 3 = -1 Ответ: B) -1

C) ∫₀² (3x² + 10) dx = [x³ + 10x]₀² = (2³ + 102) - (0³ + 100) = (8 + 20) - 0 = 28 Ответ: C) 28

D) ∫₀¹ (6x² - 2x + 5) dx = [2x³ - x² + 5x]₀¹ = (21³ - 1² + 51) - (20³ - 0² + 50) = (2 - 1 + 5) - 0 = 6 Ответ: D) 6

1. Решите тригонометрические уравнения: A) sinx = √2/2 x = π/4 + 2πk, x = 3π/4 + 2πk, где k ∈ Z Ответ: x = π/4 + 2πk, x = 3π/4 + 2πk

B) cos x = 1/2 x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, где k ∈ Z Ответ: x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk

C) 2cos²x - 3cosx + 1 = 0 Пусть cosx = t, тогда 2t² - 3t + 1 = 0 D = (-3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1 t₁ = (3 + √1) / (2 * 2) = (3 + 1) / 4 = 1 t₂ = (3 - √1) / (2 * 2) = (3 - 1) / 4 = 1/2 cosx = 1 => x = 2πk cosx = 1/2 => x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk Ответ: x = 2πk, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk

D) 2sin²x + sinx - 1 = 0 Пусть sinx = t, тогда 2t² + t - 1 = 0 D = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9 t₁ = (-1 + √9) / (2 * 2) = (-1 + 3) / 4 = 1/2 t₂ = (-1 - √9) / (2 * 2) = (-1 - 3) / 4 = -1 sinx = 1/2 => x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk sinx = -1 => x = -π/2 + 2πk Ответ: x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, x = -π/2 + 2πk