Найти область определения функции

Question

Вопрос:

Найти область определения функции

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай решим эту задачку вместе.

Чтобы найти область определения функции f(x) = √(x/(k^2 - x^2)), нужно учесть два условия:

Под знаком квадратного корня должно быть неотрицательное число (больше или равно нулю).
Знаменатель не должен равняться нулю.

Значит, нам нужно решить неравенство: x/(k^2 - x^2) ≥ 0. И при этом k^2 - x^2 ≠ 0.

Первое условие (x/(k^2 - x^2) ≥ 0) можно переписать как x/(k - x)(k + x) ≥ 0.

Второе условие (k^2 - x^2 ≠ 0) означает, что x ≠ k и x ≠ -k.

Теперь рассмотрим числовую прямую и отметим точки -k, 0 и k. Нужно рассмотреть интервалы, на которые эти точки разбивают числовую прямую:

(-∞; -k)
(-k; 0)
(0; k)
(k; +∞)

Определим знаки выражения x/(k - x)(k + x) на каждом из этих интервалов. Предположим, что k > 0.

На интервале (-∞; -k): x < 0, (k - x) > 0, (k + x) < 0. Значит, вся дробь отрицательна.
На интервале (-k; 0): x < 0, (k - x) > 0, (k + x) > 0. Значит, вся дробь положительна.
На интервале (0; k): x > 0, (k - x) > 0, (k + x) > 0. Значит, вся дробь положительна.
На интервале (k; +∞): x > 0, (k - x) < 0, (k + x) > 0. Значит, вся дробь отрицательна.

Нам нужны интервалы, где дробь больше или равна нулю. Это интервалы (-k; 0] и (0; k). Объединяя их, получаем (-k; 0] ∪ (0; k). Так как x не может равняться k или -k, область определения функции будет: (-k; 0] ∪ (0; k).

Ответ: Область определения функции: x ∈ (-k; 0] ∪ (0; k).

Найти область определения функции

Ответ ассистента

Другие решения