Найти CH

Привет! Давай решим эти задачки вместе.

1. Решение уравнения (log₅x)² - log₅x = 2

Сделаем замену: пусть t = log₅x. Тогда уравнение примет вид:

t² - t = 2

Перенесем все в левую часть:

t² - t - 2 = 0

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Я использую теорему Виета:

t₁ + t₂ = 1

t₁ * t₂ = -2

Подходят корни t₁ = 2 и t₂ = -1.

Теперь вернемся к замене и найдем x:

log₅x = 2 => x = 5² = 25

log₅x = -1 => x = 5⁻¹ = 1/5

Ответ: x = 25 и x = 1/5

2. Ромб с диагоналями k и 2k: периметр и расстояние между сторонами

Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Значит, половинки диагоналей будут k/2 и k.

Сторона ромба (a) может быть найдена по теореме Пифагора, т.к. половинки диагоналей и сторона образуют прямоугольный треугольник:

a² = (k/2)² + k² = k²/4 + k² = 5k²/4

a = √(5k²/4) = (k√5)/2

Периметр ромба P = 4a = 4 * (k√5)/2 = 2k√5

Площадь ромба можно найти двумя способами:

S = (d₁ * d₂) / 2, где d₁ и d₂ - диагонали

S = a * h, где a - сторона, h - высота (расстояние между параллельными сторонами)

Получаем:

(k * 2k) / 2 = (k√5)/2 * h

k² = (k√5)/2 * h

h = (2k²) / (k√5) = (2k) / √5

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на √5:

h = (2k√5) / 5

Ответ: Периметр ромба равен 2k√5, расстояние между параллельными сторонами равно (2k√5)/5

3. Треугольник ABC: A(0; 0), B(k/2; k), C(k; 0). Уравнение медианы CM

Медиана CM выходит из вершины C и делит сторону AB пополам. Найдем координаты точки M - середины AB:

M( (0 + k/2)/2 ; (0 + k)/2 ) = M(k/4; k/2)

Теперь у нас есть две точки: C(k; 0) и M(k/4; k/2). Найдём уравнение прямой CM. Общий вид уравнения прямой: y = ax + b

Подставим координаты точек C и M в уравнение прямой:

0 = a*k + b (1)

k/2 = a*(k/4) + b (2)

Из уравнения (1) выразим b: b = -ak

Подставим это в уравнение (2):

k/2 = a*(k/4) - ak

k/2 = ak/4 - 4ak/4

k/2 = -3ak/4

Умножим обе части на 4 и разделим на k (k не равно 0, так как это координата точки):

2 = -3a

a = -2/3

Теперь найдем b: b = -ak = -(-2/3)k = (2/3)k

Итак, уравнение прямой CM: y = (-2/3)x + (2/3)k

Ответ: Уравнение прямой, содержащей медиану CM: y = (-2/3)x + (2/3)k

Надеюсь, теперь тебе всё понятно!