Решение уравнений, включая показательные уравнения и квадратные уравнения с заменой переменной.

Конечно, давай решим эти уравнения!

а) (1/5)^(3-2x) = 125

Сначала нужно представить обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Заметим, что 1/5 это 5^(-1), а 125 это 5^3.

Тогда уравнение можно переписать как: (5^(-1))^(3-2x) = 5^3

Теперь упростим левую часть, используя свойство степеней (a^b)^c = a^(bc): 5^(-1(3-2x)) = 5^3 5^(-3+2x) = 5^3

Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней: -3 + 2x = 3

Теперь решим это уравнение относительно x: 2x = 3 + 3 2x = 6 x = 6 / 2 x = 3

Ответ: x = 3

б) 3^(x+3) - 3^x = 78

Представим 3^(x+3) как 3^x * 3^3. Тогда уравнение можно переписать так: 3^x * 3^3 - 3^x = 78 3^x * 27 - 3^x = 78

Вынесем 3^x за скобки: 3^x * (27 - 1) = 78 3^x * 26 = 78

Теперь найдем 3^x: 3^x = 78 / 26 3^x = 3

Так как 3 это 3 в первой степени, то x = 1.

Ответ: x = 1

в) 2^(2x+1) - 9 * 2^x + 4 = 0

Представим 2^(2x+1) как 2^(2x) * 2^1, а 2^(2x) как (2^x)^2. Тогда уравнение можно переписать так: 2 * (2^x)^2 - 9 * 2^x + 4 = 0

Сделаем замену переменной: пусть y = 2^x. Тогда уравнение примет вид: 2y^2 - 9y + 4 = 0

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 2 * 4 = 81 - 32 = 49. Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

y1 = (9 + √49) / (2 * 2) = (9 + 7) / 4 = 16 / 4 = 4 y2 = (9 - √49) / (2 * 2) = (9 - 7) / 4 = 2 / 4 = 1/2

Теперь вернемся к замене и найдем x:

1) 2^x = 4, значит x = 2 (так как 2^2 = 4) 2) 2^x = 1/2, значит x = -1 (так как 2^(-1) = 1/2)

Ответ: x = 2 и x = -1