Решение задач по специальной теории относительности (СТО)

Давай решим задачи по порядку.

Задача 1:

Масса движущегося космонавта (m) вычисляется по формуле: m = m0 / √(1 - v^2/c^2), где m0 - масса покоя, v - скорость, c - скорость света.

В данном случае: * m0 = 90 кг * v = 0,8c

Подставляем значения: m = 90 кг / √(1 - (0,8c)^2/c^2) = 90 кг / √(1 - 0,64) = 90 кг / √0,36 = 90 кг / 0,6 = 150 кг

Ответ: 150 кг

Задача 2:

Длина движущегося корабля (L) вычисляется по формуле: L = L0 * √(1 - v^2/c^2), где L0 - длина покоящегося корабля.

В данном случае: * L0 = 100 м * v = 0,9c

Подставляем значения: L = 100 м * √(1 - (0,9c)^2/c^2) = 100 м * √(1 - 0,81) = 100 м * √0,19 ≈ 100 м * 0,436 ≈ 43,6 м

Ответ: ≈ 43,6 м

Задача 3:

Аналогично задаче 2, используем формулу L = L0 * √(1 - v^2/c^2): * L0 = 100 м * v = 0,4c

Подставляем значения: L = 100 м * √(1 - (0,4c)^2/c^2) = 100 м * √(1 - 0,16) = 100 м * √0,84 ≈ 100 м * 0,917 ≈ 91,7 м

Ответ: ≈ 91,7 м

Задача 4:

Нужно найти, во сколько раз масса протона увеличится. Используем формулу m = m0 / √(1 - v^2/c^2) и найдем отношение m/m0.

• v = 2,98 * 10^8 м/с
• c = 3 * 10^8 м/с

m/m0 = 1 / √(1 - (2,98 * 10^8)^2 / (3 * 10^8)^2) = 1 / √(1 - 0,9867) = 1 / √0,0133 ≈ 1 / 0,115 ≈ 8,69

Ответ: Примерно в 8,69 раза

Задача 5:

Нужно найти скорость, при которой масса частицы увеличится вдвое (m = 2m0). Используем формулу m = m0 / √(1 - v^2/c^2).

2m0 = m0 / √(1 - v^2/c^2) 2 = 1 / √(1 - v^2/c^2) √(1 - v^2/c^2) = 1/2 1 - v^2/c^2 = 1/4 v^2/c^2 = 3/4 v^2 = (3/4) * c^2 v = √(3/4) * c ≈ 0,866c

Ответ: ≈ 0,866c

Задача 6:

Размеры уменьшились на 30%, то есть стали 0,7 от первоначальных (L = 0,7L0). Используем формулу L = L0 * √(1 - v^2/c^2).

0,7L0 = L0 * √(1 - v^2/c^2) 0,7 = √(1 - v^2/c^2) 0,49 = 1 - v^2/c^2 v^2/c^2 = 0,51 v^2 = 0,51 * c^2 v = √0,51 * c ≈ 0,714c

Ответ: ≈ 0,714c

Задача 7:

Аналогично задаче 2, используем формулу L = L0 * √(1 - v^2/c^2): * L0 = 100 м * v = 0,8c

Подставляем значения: L = 100 м * √(1 - (0,8c)^2/c^2) = 100 м * √(1 - 0,64) = 100 м * √0,36 = 100 м * 0,6 = 60 м

Ответ: 60 м

Задача 8:

Масса увеличилась в 3 раза (m = 3m0). Используем формулу m = m0 / √(1 - v^2/c^2).

3m0 = m0 / √(1 - v^2/c^2) 3 = 1 / √(1 - v^2/c^2) √(1 - v^2/c^2) = 1/3 1 - v^2/c^2 = 1/9 v^2/c^2 = 8/9 v^2 = (8/9) * c^2 v = √(8/9) * c ≈ 0,943c

Ответ: ≈ 0,943c

Задача 9:

В этой задаче нужно найти время, которое пройдет на ракете (t'), если на Земле прошло время t = 25 лет. Используем формулу t' = t * √(1 - v^2/c^2).

• t = 25 лет
• v = 0,4c

Подставляем значения: t' = 25 лет * √(1 - (0,4c)^2/c^2) = 25 лет * √(1 - 0,16) = 25 лет * √0,84 ≈ 25 лет * 0,917 ≈ 22,93 года

Ответ: ≈ 22,93 года