реши

Конечно, давай решим это вместе!

Чтобы найти область определения функции f(x) = log₅((4x - x²)/(x + 9)), нужно учесть два условия:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть (4x - x²)/(x + 9) > 0.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, то есть x + 9 ≠ 0.

Решим неравенство (4x - x²)/(x + 9) > 0. Для этого сначала найдем нули числителя и знаменателя.

• Числитель: 4x - x² = 0 => x(4 - x) = 0 => x = 0 или x = 4
• Знаменатель: x + 9 = 0 => x = -9

Теперь у нас есть три точки: -9, 0 и 4. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала: (-∞, -9), (-9, 0), (0, 4), (4, +∞). Определим знак выражения (4x - x²)/(x + 9) на каждом интервале.

• Интервал (-∞, -9): Возьмем x = -10. Тогда (4*(-10) - (-10)²) / (-10 + 9) = (-40 - 100) / (-1) = 140 > 0
• Интервал (-9, 0): Возьмем x = -1. Тогда (4*(-1) - (-1)²) / (-1 + 9) = (-4 - 1) / 8 = -5/8 < 0
• Интервал (0, 4): Возьмем x = 1. Тогда (4*1 - 1²) / (1 + 9) = (4 - 1) / 10 = 3/10 > 0
• Интервал (4, +∞): Возьмем x = 5. Тогда (4*5 - 5²) / (5 + 9) = (20 - 25) / 14 = -5/14 < 0

Нам нужно, чтобы (4x - x²)/(x + 9) > 0. Значит, подходят интервалы (-∞, -9) и (0, 4). Но нужно исключить точку, где знаменатель равен нулю, то есть x ≠ -9. Таким образом, получаем два интервала: (-∞, -9) и (0, 4).

Запишем область определения функции: x ∈ (-∞, -9) ∪ (0, 4).

Ответ: Область определения функции: x ∈ (-∞, -9) ∪ (0, 4).