Параллельно прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости

Конечно, я помогу тебе с решением этих задач!

1) Вычислите: 29 * 16^(1/4) - 15. 16^(1/4) = 2 (так как 2 в четвертой степени равно 16). 29 * 2 - 15 = 58 - 15 = 43. Ответ: 43

2) Упростите выражение: 5^0.5 / 5^(-0.5). При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: 5^(0.5 - (-0.5)) = 5^(0.5 + 0.5) = 5^1 = 5. Ответ: 5

3) Упростите выражение: log₂50 - 2log₂5. Используем свойство логарифмов: 2log₂5 = log₂(5^2) = log₂25. log₂50 - log₂25 = log₂(50/25) = log₂2 = 1. Ответ: 1

4) Найдите значение cos α, если sin α = -0.8 и π < α < 3π/2. Так как π < α < 3π/2, угол α находится в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны. Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1. cos²α = 1 - sin²α = 1 - (-0.8)² = 1 - 0.64 = 0.36. cos α = -√(0.36) = -0.6 (берем знак минус, так как косинус в третьей четверти отрицательный). Ответ: -0.6

5) Упростите выражение: 7cos²α - 5 + 7sin²α. Выносим 7 за скобки: 7(cos²α + sin²α) - 5. По основному тригонометрическому тождеству cos²α + sin²α = 1. 7 * 1 - 5 = 7 - 5 = 2. Ответ: 2

6) Решите уравнение: cos x = 1. cosx = 1, когда x = 2πk, где k - целое число. Ответ: x = 2πk, k ∈ Z

7) Найдите корень уравнения: √(64 - 3x²) = -x. Возводим обе части в квадрат: 64 - 3x² = x². Переносим все в одну сторону: 4x² = 64. Делим на 4: x² = 16. x = ±4. Проверяем корни: При x = 4: √(64 - 3 * 16) = √(64 - 48) = √16 = 4. -x = -4. 4 ≠ -4, значит, x = 4 не подходит. При x = -4: √(64 - 3 * 16) = √(64 - 48) = √16 = 4. -x = -(-4) = 4. 4 = 4, значит, x = -4 подходит. Ответ: x = -4

8) Найдите корень уравнения: (1/32)^(0.5x+1) = 8. Представим обе части как степени числа 2: (2^(-5))^(0.5x+1) = 2^3. 2^(-5(0.5x+1)) = 2^3. -5(0.5x+1) = 3. -2.5x - 5 = 3. -2.5x = 8. x = -8 / 2.5 = -3.2. Ответ: x = -3.2

9) Решите неравенство: (6x-2) / ((x-1)(x+2)) ≤ 0. Находим нули числителя: 6x - 2 = 0 => x = 1/3. Находим нули знаменателя: x = 1, x = -2. Рассмотрим числовую прямую и отметим эти точки: ----(-2)----(1/3)----(1)---->. Определим знаки на каждом интервале: x < -2: например, x = -3. (6(-3)-2)/((-3-1)(-3+2)) = (-20)/((-4)(-1)) = -20/4 = -5 < 0. -2 < x < 1/3: например, x = 0. (60-2)/((0-1)(0+2)) = (-2)/(-2) = 1 > 0. 1/3 < x < 1: например, x = 0.5. (60.5-2)/((0.5-1)(0.5+2)) = (1)/((-0.5)(2.5)) = 1/(-1.25) < 0. x > 1: например, x = 2. (62-2)/((2-1)(2+2)) = (10)/(1*4) = 10/4 > 0. Решением являются интервалы, где выражение меньше или равно нулю: x < -2 и 1/3 ≤ x < 1. Ответ: x ∈ (-∞; -2) ∪ [1/3; 1)

10) Найдите множество значений функции y = cos x - 2. Множество значений cos x: [-1; 1]. Тогда множество значений y: [-1 - 2; 1 - 2] = [-3; -1]. Ответ: [-3; -1]

11) Найдите производную функции f(x) = (7 - 2x)⁴. Используем правило цепочки: f'(x) = 4 * (7 - 2x)³ * (-2) = -8(7 - 2x)³. Ответ: f'(x) = -8(7 - 2x)³

12) Укажите первообразную функции f(x) = 2x + 4x³ - 1. Первообразная F(x) = ∫(2x + 4x³ - 1) dx = x² + x⁴ - x + C, где C - константа. Ответ: F(x) = x² + x⁴ - x + C

13) Решите уравнение: log₅ x + log₅ 3 = log₅ 12. Используем свойство логарифмов: log₅ (x * 3) = log₅ 12. Тогда x * 3 = 12. x = 12 / 3 = 4. Ответ: x = 4

14) Найдите точки максимума функции y = x³ - 3x². Находим первую производную: y' = 3x² - 6x. Приравниваем к нулю: 3x² - 6x = 0. 3x(x - 2) = 0. x = 0 или x = 2. Находим вторую производную: y'' = 6x - 6. y''(0) = 6 * 0 - 6 = -6 < 0, значит, x = 0 - точка максимума. y''(2) = 6 * 2 - 6 = 6 > 0, значит, x = 2 - точка минимума. Ответ: x = 0

15) Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 2; 2; 1. Диагональ d = √(a² + b² + c²) = √(2² + 2² + 1²) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3. Ответ: 3

16) Вычислите площадь фигуры (S), ограниченной линиями y = 4 - x², y = 0, x = 0, x = 2. Площадь S = ∫[0, 2] (4 - x²) dx = [4x - (x³/3)][0, 2] = (4 * 2 - (2³/3)) - (0) = 8 - 8/3 = 24/3 - 8/3 = 16/3. Ответ: S = 16/3

17) Укажите область определения функции y = log₀.₃(6x - 3x²). Аргумент логарифма должен быть больше нуля: 6x - 3x² > 0. 3x(2 - x) > 0. x(2 - x) > 0. x(x - 2) < 0. Решаем неравенство методом интервалов: ----(0)----(2)---->. x ∈ (0; 2). Ответ: (0; 2)

18) Найдите наибольшее целое решение неравенства (1/3)^(2-5x) - 1 ≤ 0. (1/3)^(2-5x) ≤ 1. (1/3)^(2-5x) ≤ (1/3)^0. Так как основание (1/3) меньше 1, знак неравенства меняется: 2 - 5x ≥ 0. -5x ≥ -2. x ≤ 2/5 = 0.4. Наибольшее целое решение: x = 0. Ответ: 0

19) Площади двух граней прямоугольного параллелепипеда равны 56 дм² и 192 дм², а длина их общего ребра 8 дм. Найдите объем параллелепипеда. Пусть стороны граней a, b и c, где c = 8 дм. Тогда a * c = 56 и b * c = 192. a = 56 / 8 = 7 дм. b = 192 / 8 = 24 дм. Объем V = a * b * c = 7 * 24 * 8 = 1344 дм³. Ответ: V = 1344 дм³

20) Образующая конуса равна 12 см и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем конуса, считая π = 3. Образующая конуса (l) = 12 см. Угол между образующей и плоскостью основания = 30°. Радиус основания r = l * cos(30°) = 12 * cos(30°). Высота конуса h = l * sin(30°) = 12 * sin(30°) = 12 * (1/2) = 6 см. Объем конуса V = (1/3) * π * r² * h. π = 3. Чтобы найти радиус, надо вспомнить, что угол 30 градусов. Тогда радиус r = 12 * (√3 / 2) = 6√3. V = (1/3) * 3 * (6√3)² * 6 = (1/3) * 3 * 36 * 3 * 6 = 36 * 3 * 6 = 648 см³. Ответ: 648 см³