реши

Привет! Давай вычислим производные функций, как просят в задании.

VIII.43. a) f(x) = e^(3x)

Чтобы найти производную этой функции, нужно вспомнить правило производной сложной функции. Если у нас есть функция вида f(g(x)), то её производная равна f'(g(x)) * g'(x).

В нашем случае: * Внешняя функция f(u) = e^u, её производная f'(u) = e^u * Внутренняя функция g(x) = 3x, её производная g'(x) = 3

Тогда производная f(x) = e^(3x) будет: f'(x) = e^(3x) * 3 = 3e^(3x)

Ответ: f'(x) = 3e^(3x)

VIII.43. б) f(x) = 3^(-x)

Здесь снова нужна производная сложной функции.

• Внешняя функция f(u) = 3^u, её производная f'(u) = 3^u * ln(3)
• Внутренняя функция g(x) = -x, её производная g'(x) = -1

Тогда производная f(x) = 3^(-x) будет: f'(x) = 3^(-x) * ln(3) * (-1) = -ln(3) * 3^(-x)

Ответ: f'(x) = -ln(3) * 3^(-x)

VIII.44. a) f(x) = ln(2x)

Снова сложная функция:

• Внешняя функция f(u) = ln(u), её производная f'(u) = 1/u
• Внутренняя функция g(x) = 2x, её производная g'(x) = 2

Тогда производная f(x) = ln(2x) будет: f'(x) = (1 / (2x)) * 2 = 1/x

Ответ: f'(x) = 1/x

VIII.44. б) f(x) = log₅(6x)

И снова сложная функция, но теперь с логарифмом по основанию 5.

• Внешняя функция f(u) = log₅(u), её производная f'(u) = 1 / (u * ln(5))
• Внутренняя функция g(x) = 6x, её производная g'(x) = 6

Тогда производная f(x) = log₅(6x) будет: f'(x) = (1 / (6x * ln(5))) * 6 = 1 / (x * ln(5))

Ответ: f'(x) = 1 / (x * ln(5))