Решить задание на фото

Привет! Давай решим эти уравнения.

Задание 6.32 (А)

Уравнение: tg(x/2) = -1

1. Вспоминаем, что тангенс равен -1 в точках: x/2 = -π/4 + πn, где n - целое число.
2. Умножаем обе части на 2, чтобы найти x: x = -π/2 + 2πn, где n - целое число.

Ответ: x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z

Задание 6.32 (Б)

Уравнение: sin²(π/6 - 2x) = 1/2

1. Извлекаем квадратный корень из обеих частей: sin(π/6 - 2x) = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±√2/2
2. Рассмотрим случай sin(π/6 - 2x) = √2/2. Это выполняется, когда:
   • π/6 - 2x = π/4 + 2πn, где n - целое число, или
   • π/6 - 2x = 3π/4 + 2πn, где n - целое число.
3. Решаем первое уравнение:
   • -2x = π/4 - π/6 + 2πn
   • -2x = π/12 + 2πn
   • x = -π/24 - πn, где n - целое число.
4. Решаем второе уравнение:
   • -2x = 3π/4 - π/6 + 2πn
   • -2x = 7π/12 + 2πn
   • x = -7π/24 - πn, где n - целое число.
5. Рассмотрим случай sin(π/6 - 2x) = -√2/2. Это выполняется, когда:
   • π/6 - 2x = -π/4 + 2πn, где n - целое число, или
   • π/6 - 2x = 5π/4 + 2πn, где n - целое число.
6. Решаем первое уравнение:
   • -2x = -π/4 - π/6 + 2πn
   • -2x = -5π/12 + 2πn
   • x = 5π/24 - πn
7. Решаем второе уравнение:
   • -2x = 5π/4 - π/6 + 2πn
   • -2x = 13π/12 + 2πn
   • x = -13π/24 - πn

Ответ: x = -π/24 - πn, x = -7π/24 - πn, x = 5π/24 - πn, x = -13π/24 - πn, n ∈ Z

Задание 6.40 (А)

Уравнение: 2cos²x - 5cosx + 2 = 0

1. Делаем замену: t = cosx, тогда уравнение принимает вид: 2t² - 5t + 2 = 0
2. Решаем квадратное уравнение:
   • D = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9
   • t1 = (5 + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2
   • t2 = (5 - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2
3. Возвращаемся к замене:
   • cosx = 2 (невозможно, так как -1 ≤ cosx ≤ 1)
   • cosx = 1/2
4. Решаем уравнение cosx = 1/2:
   • x = ±π/3 + 2πn, где n - целое число.

Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z

Задание 6.40 (А, 17)

Уравнение: sin²x - sinx * cosx - 2cos²x = 0

1. Разделим обе части уравнения на cos²x (если cosx = 0, то sinx = 0, что невозможно одновременно). Получим: tg²x - tgx - 2 = 0
2. Делаем замену: t = tgx, тогда уравнение принимает вид: t² - t - 2 = 0
3. Решаем квадратное уравнение:
   • D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9
   • t1 = (1 + √9) / (2 * 1) = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2
   • t2 = (1 - √9) / (2 * 1) = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1
4. Возвращаемся к замене:
   • tgx = 2
   • tgx = -1
5. Решаем уравнение tgx = 2:
   • x = arctg(2) + πn, где n - целое число.
6. Решаем уравнение tgx = -1:
   • x = -π/4 + πn, где n - целое число.

Ответ: x = arctg(2) + πn, x = -π/4 + πn, n ∈ Z

Задание 6.40 (Б)

Уравнение: sin²x + 3cos²x = 2sin2x

1. Преобразуем уравнение, используя sin²x + cos²x = 1:
   • sin²x + 3cos²x = sin²x + cos²x + 2cos²x = 1 + 2cos²x
2. Тогда уравнение принимает вид: 1 + 2cos²x = 2sin2x
3. Вспоминаем, что sin2x = 2sinxcosx, поэтому: 1 + 2cos²x = 4sinxcosx
4. Преобразуем 1 в sin²x + cos²x: sin²x + cos²x + 2cos²x = 4sinxcosx, то есть sin²x + 3cos²x = 4sinxcosx
5. Переносим всё в одну сторону: sin²x - 4sinxcosx + 3cos²x = 0
6. Делим обе части уравнения на cos²x (если cosx = 0, то sinx = 0, что невозможно одновременно). Получим: tg²x - 4tgx + 3 = 0
7. Делаем замену: t = tgx, тогда уравнение принимает вид: t² - 4t + 3 = 0
8. Решаем квадратное уравнение:
   • D = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
   • t1 = (4 + √4) / (2 * 1) = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3
   • t2 = (4 - √4) / (2 * 1) = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1
9. Возвращаемся к замене:
   • tgx = 3
   • tgx = 1
10. Решаем уравнение tgx = 3:
    • x = arctg(3) + πn, где n - целое число.
11. Решаем уравнение tgx = 1:
    • x = π/4 + πn, где n - целое число.

Ответ: x = arctg(3) + πn, x = π/4 + πn, n ∈ Z

Задание 6.40 (Б, 5)

Уравнение: cos²x + 2sin2x = 2

1. Преобразуем уравнение, используя sin²x + cos²x = 1:
   • cos²x + 2sin2x = 2(sin²x + cos²x) = 2
2. Тогда уравнение принимает вид: cos²x + 2sin2x = 2sin²x + 2cos²x
3. Переносим всё в одну сторону: 0 = 2sin²x + cos²x - 2sin2x, то есть 2sin²x - 2sin2x + cos²x = 0
4. Преобразуем sin2x = 2sinxcosx: 2sin²x - 4sinxcosx + cos²x = 0
5. Разделим обе части уравнения на cos²x (если cosx = 0, то sinx = 0, что невозможно одновременно). Получим: 2tg²x - 4tgx + 1 = 0
6. Делаем замену: t = tgx, тогда уравнение принимает вид: 2t² - 4t + 1 = 0
7. Решаем квадратное уравнение:
   • D = (-4)² - 4 * 2 * 1 = 16 - 8 = 8
   • t1 = (4 + √8) / (2 * 2) = (4 + 2√2) / 4 = (2 + √2) / 2
   • t2 = (4 - √8) / (2 * 2) = (4 - 2√2) / 4 = (2 - √2) / 2
8. Возвращаемся к замене:
   • tgx = (2 + √2) / 2
   • tgx = (2 - √2) / 2
9. Решаем уравнение tgx = (2 + √2) / 2:
   • x = arctg((2 + √2) / 2) + πn, где n - целое число.
10. Решаем уравнение tgx = (2 - √2) / 2:
    • x = arctg((2 - √2) / 2) + πn, где n - целое число.

Ответ: x = arctg((2 + √2) / 2) + πn, x = arctg((2 - √2) / 2) + πn, n ∈ Z

Надеюсь, всё понятно! Если есть ещё вопросы, задавай.