Реши, представив x и y как суммы n случайных величин

Конечно, давай решим эту задачу вместе!

Задача: Игральный кубик подбрасывают n раз. Пусть x — количество выпавших при этом пятёрок, а y — шестёрок. Найдите ковариацию случайных величин x и y.

Решение:

1. Представление случайных величин как суммы:

Представим x и y как суммы n случайных величин. Пусть xi = 1, если при i-м броске выпала пятёрка, и 0 в противном случае. Аналогично, yi = 1, если при i-м броске выпала шестёрка, и 0 в противном случае. Тогда:

x = x1 + x2 + ... + xn y = y1 + y2 + ... + yn

1. Ковариация суммы случайных величин:

Ковариация двух сумм случайных величин равна сумме всех ковариаций между отдельными элементами этих сумм:

Cov(x, y) = Cov(x1 + x2 + ... + xn, y1 + y2 + ... + yn) = Σi=1n Σj=1n Cov(xi, yj)

1. Вычисление ковариации Cov(xi, yj):

2. Если i ≠ j, то xi и yj независимы, следовательно, Cov(xi, yj) = 0.

3. Если i = j, то Cov(xi, yi) = E[xi * yi] - E[xi] * E[yi*].

   • E[xi] = P(выпала пятёрка) = 1/6
   • E[yi] = P(выпала шестёрка) = 1/6
   • E[xi * yi] = P(одновременно выпали пятёрка и шестёрка в i*-м броске) = 0 (так как это невозможно)

Следовательно, Cov(xi, yi) = 0 - (1/6) * (1/6) = -1/36

1. Подстановка в формулу ковариации:

Cov(x, y) = Σi=1n Σj=1n Cov(xi, yj) = Σi=1n Cov(xi, yi) = n * (-1/36) = -n/36

Ответ: Ковариация случайных величин x и y равна -n/36.