Реши, представив x и y как сумму n испытаний Бернулли, не используя знака суммы и его свойств!

Конечно, давай решим эту задачу!

Задача: Игральный кубик подбрасывают n раз. x — количество выпавших пятёрок, а y — количество выпавших шестёрок. Необходимо найти ковариацию случайных величин x и y.

Решение:

Представим x и y как сумму n испытаний Бернулли. Введём случайные величины xi и yi, где i от 1 до n.

• xi = 1, если в i-м броске выпала пятёрка, и 0 в противном случае.
• yi = 1, если в i-м броске выпала шестёрка, и 0 в противном случае.

Тогда:

• x = x1 + x2 + ... + xn
• y = y1 + y2 + ... + yn

Нам нужно найти ковариацию Cov(x, y). Вспомним, что Cov(x, y) = E[(x - E[x])(y - E[y])]. Но проще воспользоваться формулой: Cov(x, y) = E[xy] - E[x]E[y].

Для начала найдём E[x] и E[y]:

• E[x] = E[x1 + x2 + ... + xn] = E[x1] + E[x2] + ... + E[xn]. Так как E[xi] = 1 * P(выпала пятёрка) + 0 * P(не выпала пятёрка) = 1/6, то E[x] = n * (1/6) = n/6.
• Аналогично, E[y] = n/6.

Теперь найдём E[xy]:

E[xy] = E[(x1 + x2 + ... + xn)(y1 + y2 + ... + yn)]

Раскроем скобки. Получим слагаемые вида E[xiyj].

Если i = j, то E[xiyi] = P(выпала и пятёрка, и шестёрка в i-м броске) = 0, так как в одном броске не могут выпасть одновременно и пятёрка, и шестёрка.

Если i ≠ j, то xi и yj независимы, и E[xiyj] = E[xi]E[yj] = (1/6) * (1/6) = 1/36.

Сколько таких слагаемых, где i ≠ j? Всего n2 слагаемых, из них n слагаемых с i = j. Значит, слагаемых с i ≠ j будет n2 - n.

E[xy] = (n2 - n) * (1/36) = (n2 - n) / 36.

Теперь подставим всё в формулу для ковариации:

Cov(x, y) = E[xy] - E[x]E[y] = (n2 - n) / 36 - (n/6) * (n/6) = (n2 - n) / 36 - n2 / 36 = -n / 36.

Ответ: Cov(x, y) = -n/36.