Реши, представив x и y как сумму n испытаний Бернулли, не используя знака суммы

Конечно, давай решим эту задачу!

Сначала разберемся с задачей. У нас есть игральный кубик, который бросают n раз. x — это число выпадений пятерки, а y — число выпадений шестерки. Нам нужно найти ковариацию случайных величин x и y.

Мы можем представить x и y как сумму n независимых испытаний Бернулли. Обозначим:

• xi = 1, если в i-м броске выпала пятерка, и 0 в противном случае.
• yi = 1, если в i-м броске выпала шестерка, и 0 в противном случае.

Тогда x = x1 + x2 + ... + xn, и y = y1 + y2 + ... + yn.

Ковариация определяется как Cov(x, y) = E[(x - E[x])(y - E[y])], где E[] — математическое ожидание.

Так как x и y — суммы, мы можем раскрыть ковариацию:

Cov(x, y) = Cov(x1 + x2 + ... + xn, y1 + y2 + ... + yn).

Из-за линейности ковариации:

Cov(x, y) = Σi=1n Σj=1n Cov(xi, yj).

Теперь рассмотрим Cov(xi, yj). Если i ≠ j, то xi и yj независимы, и их ковариация равна 0. Если i = j, то Cov(xi, yi) = E[xi yi] - E[xi]E[yi].

E[xi] = P(в i-м броске выпала пятерка) = 1/6. E[yi] = P(в i-м броске выпала шестерка) = 1/6.

Так как пятерка и шестерка не могут выпасть одновременно в одном броске, xi yi = 0 всегда. Значит, E[xi yi] = 0.

Тогда Cov(xi, yi) = 0 - (1/6)(1/6) = -1/36.

Итак, Cov(x, y) = Σi=1n Cov(xi, yi) = n(-1/36) = -n/36.

Ответ: Cov(x, y) = -n/36