Выбрать корни из интервала 0; п

Привет! Давай решим эту задачку вместе.

Условие:

Дано уравнение sin²x + sinx cosx - 2cos²x = 0, у которого есть два различных решения x₁ и x₂ на интервале (0; π). Нужно найти значение выражения 12tg(x₁ + x₂).

Решение:

1. Преобразуем уравнение. Разделим обе части уравнения на cos²x (поскольку cos x ≠ 0, иначе sin²x = 0, что невозможно одновременно):

sin²x / cos²x + sinx cosx / cos²x - 2cos²x / cos²x = 0

Получаем:

tg²x + tgx - 2 = 0

1. Решим квадратное уравнение относительно tgx. Введем замену t = tgx:

t² + t - 2 = 0

Находим корни уравнения:

D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

t₁ = (-1 + √9) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 1

t₂ = (-1 - √9) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -2

1. Найдем решения для x:

2. tgx = 1 => x₁ = π/4 (так как x ∈ (0; π))

3. tgx = -2 => x₂ = arctg(-2) + π (так как x ∈ (0; π), а arctg(-2) < 0)

4. Теперь найдем сумму x₁ + x₂:

x₁ + x₂ = π/4 + arctg(-2) + π = 5π/4 + arctg(-2)

1. Найдем тангенс суммы tg(x₁ + x₂):

tg(x₁ + x₂) = tg(5π/4 + arctg(-2))

Используем формулу тангенса суммы: tg(a + b) = (tga + tgb) / (1 - tga * tgb)

tg(5π/4) = 1

tg(arctg(-2)) = -2

tg(x₁ + x₂) = (1 - 2) / (1 - 1 * (-2)) = -1 / (1 + 2) = -1/3

1. Наконец, найдем значение выражения 12tg(x₁ + x₂):

12 * tg(x₁ + x₂) = 12 * (-1/3) = -4

Ответ: -4

Надеюсь, теперь всё понятно!