Решите систему уравнений

Привет! Давай вместе разберем эти задания.

1. Решение неравенства 2x² + 7x - 4 > 0

Для начала, решим квадратное уравнение 2x² + 7x - 4 = 0. Найдём дискриминант (D): D = b² - 4ac = 7² - 4 * 2 * (-4) = 49 + 32 = 81 Теперь найдём корни: x1 = (-b + √D) / (2a) = (-7 + √81) / (2 * 2) = (-7 + 9) / 4 = 2 / 4 = 0.5 x2 = (-b - √D) / (2a) / (2a) = (-7 - √81) / (2 * 2) = (-7 - 9) / 4 = -16 / 4 = -4

Теперь отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки неравенства на каждом интервале:

----(-4)----(0.5)-----> X

Проверим знаки на интервалах: * x < -4 (например, x = -5): 2(-5)² + 7(-5) - 4 = 50 - 35 - 4 = 11 > 0 * -4 < x < 0.5 (например, x = 0): 2(0)² + 7(0) - 4 = -4 < 0 * x > 0.5 (например, x = 1): 2(1)² + 7(1) - 4 = 2 + 7 - 4 = 5 > 0

Нам нужно 2x² + 7x - 4 > 0, значит выбираем интервалы, где выражение положительно.

Ответ: x < -4 или x > 0.5

2. Упрощение выражения √18(√6 - √2) - 3√12

Упростим выражение по шагам:

1. √18 = √(9 * 2) = 3√2
2. √12 = √(4 * 3) = 2√3
3. Подставим в исходное выражение: 3√2(√6 - √2) - 3 * 2√3
4. Раскроем скобки: 3√2 * √6 - 3√2 * √2 - 6√3
5. Упростим: 3√(2 * 6) - 3 * 2 - 6√3 = 3√12 - 6 - 6√3
6. Заменим √12 на 2√3: 3 * 2√3 - 6 - 6√3
7. Упростим: 6√3 - 6 - 6√3
8. Приведем подобные: -6

Ответ: -6

3. Решение системы уравнений:

{ y - 5x = 1 { y² - 13x = 23

Выразим y из первого уравнения: y = 5x + 1

Подставим это во второе уравнение: (5x + 1)² - 13x = 23

Раскроем скобки: 25x² + 10x + 1 - 13x = 23

Упростим: 25x² - 3x - 22 = 0

Решим квадратное уравнение: D = (-3)² - 4 * 25 * (-22) = 9 + 2200 = 2209 x1 = (3 + √2209) / (2 * 25) = (3 + 47) / 50 = 50 / 50 = 1 x2 = (3 - √2209) / (2 * 25) = (3 - 47) / 50 = -44 / 50 = -22 / 25 = -0.88

Теперь найдем y для каждого значения x:

Если x = 1: y = 5 * 1 + 1 = 6 Если x = -0.88: y = 5 * (-0.88) + 1 = -4.4 + 1 = -3.4

Ответ: (1; 6) и (-0.88; -3.4)

4. Задача про мастера и ученика:

Пусть x - количество деталей, которое делает ученик в час. Тогда мастер делает x + 4 детали в час. Время, которое тратит ученик: 64 / x Время, которое тратит мастер: 72 / (x + 4)

Мастер выполнил заказ на 2 часа раньше, значит: 64 / x - 72 / (x + 4) = 2

Приведем к общему знаменателю: (64(x + 4) - 72x) / (x(x + 4)) = 2 (64x + 256 - 72x) / (x² + 4x) = 2 (-8x + 256) / (x² + 4x) = 2

-8x + 256 = 2(x² + 4x) -8x + 256 = 2x² + 8x 2x² + 16x - 256 = 0 x² + 8x - 128 = 0

Решим квадратное уравнение: D = 8² - 4 * 1 * (-128) = 64 + 512 = 576 x1 = (-8 + √576) / 2 = (-8 + 24) / 2 = 16 / 2 = 8 x2 = (-8 - √576) / 2 = (-8 - 24) / 2 = -32 / 2 = -16 (не подходит, т.к. количество деталей не может быть отрицательным)

Значит, ученик делает 8 деталей в час. Мастер делает 8 + 4 = 12 деталей в час.

Ответ: Ученик - 8 деталей в час, мастер - 12 деталей в час.

5. Парабола y = x² - 4x + 3

Координаты вершины параболы: x_в = -b / (2a) = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2 y_в = (2)² - 4 * 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 Вершина параболы: (2; -1)

Точки пересечения с осями:

• С осью OY (x = 0): y = (0)² - 4 * 0 + 3 = 3. Точка (0; 3)
• С осью OX (y = 0): x² - 4x + 3 = 0 D = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4 x1 = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3 x2 = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1 Точки (3; 0) и (1; 0)

Ответ: Вершина (2; -1). Пересечение с OY: (0; 3). Пересечение с OX: (3; 0) и (1; 0).

Надеюсь, всё понятно! Если есть вопросы, спрашивай.