Учащийся нашел первообразную методом тыка и получил sin(x^2)/2x + C, прав ли учащийся? Правда ли что sin(x^2)` = cos(x^2)?

Привет! Давай разберемся с этой задачей про первообразную.

Итак, у нас есть функция y = cos(x^2), и ученик предположил, что ее первообразная равна sin(x^2) / (2x) + C. Чтобы проверить, прав ли он, нам нужно взять производную от его предположения и посмотреть, получится ли у нас исходная функция cos(x^2).

Давай найдем производную от sin(x^2) / (2x) + C. Производная константы C равна нулю, поэтому мы можем ее игнорировать. Чтобы найти производную от sin(x^2) / (2x), нам нужно использовать правило частного:

(u/v)' = (u'v - uv') / v^2

В нашем случае:

• u = sin(x^2)
• v = 2x

Найдем производные u' и v':

• u' = (sin(x^2))' = cos(x^2) * (x^2)' = cos(x^2) * 2x (здесь мы использовали правило цепочки)
• v' = (2x)' = 2

Теперь подставим все это в правило частного:

(sin(x^2) / (2x))' = ( (cos(x^2) * 2x) * (2x) - sin(x^2) * 2 ) / (2x)^2 = (4x^2 * cos(x^2) - 2 * sin(x^2)) / (4x^2) = cos(x^2) - sin(x^2) / (2x^2)

Мы видим, что производная от sin(x^2) / (2x) не равна cos(x^2). В ней есть дополнительный член - sin(x^2) / (2x^2). Следовательно, ученик не прав. Его предположение о первообразной неверно.

Теперь давай проверим, правда ли, что (sin(x^2))' = cos(x^2). Как мы уже видели выше, когда искали производную u = sin(x^2), по правилу цепочки:

(sin(x^2))' = cos(x^2) * (x^2)' = cos(x^2) * 2x = 2x * cos(x^2)

Значит, (sin(x^2))' = 2x * cos(x^2), а не просто cos(x^2). Так что утверждение, что (sin(x^2))' = cos(x^2), тоже неверно.

Ответ: Ученик не прав. Производная от sin(x^2)/(2x) + C не равна cos(x^2). Утверждение, что (sin(x^2))' = cos(x^2) неверно.