Как решать

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку.

Задача 1: Вычислить интеграл ∫x^2 dx от 0 до 3 1/3

1. Запишем интеграл: ∫x^2 dx
2. Найдем первообразную функции x^2: (x^3)/3

3. Вычислим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:

   • Верхний предел: 3 1/3 = 10/3. Подставляем в первообразную: ((10/3)^3)/3 = (1000/27)/3 = 1000/81
   • Нижний предел: 0. Подставляем в первообразную: (0^3)/3 = 0
   • Вычислим разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах: 1000/81 - 0 = 1000/81
   • Представим результат в виде десятичной дроби (при необходимости) или оставим в виде обыкновенной дроби: 1000/81 ≈ 12.35

Ответ: 1000/81 или приблизительно 12.35

Задача 2: Вычислить интеграл ∫sin(3x) dx от 0 до π/3

1. Запишем интеграл: ∫sin(3x) dx
2. Найдем первообразную функции sin(3x): -cos(3x)/3

3. Вычислим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:

   • Верхний предел: π/3. Подставляем в первообразную: -cos(3 * π/3)/3 = -cos(π)/3 = -(-1)/3 = 1/3
   • Нижний предел: 0. Подставляем в первообразную: -cos(3 * 0)/3 = -cos(0)/3 = -1/3
   • Вычислим разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах: 1/3 - (-1/3) = 1/3 + 1/3 = 2/3

Ответ: 2/3

Задача 3: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 2x + 4.

1. Найдем точки пересечения графиков функций, приравняв их: -x^2 + 4 = 2x + 4
2. Решим уравнение: -x^2 - 2x = 0 => x^2 + 2x = 0 => x(x + 2) = 0. Корни: x1 = 0, x2 = -2
3. Запишем интеграл для вычисления площади: ∫[(-x^2 + 4) - (2x + 4)] dx от -2 до 0. Упростим подынтегральное выражение: ∫(-x^2 - 2x) dx
4. Найдем первообразную функции -x^2 - 2x: (-x^3)/3 - x^2

5. Вычислим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:

   • Верхний предел: 0. Подставляем в первообразную: (-0^3)/3 - 0^2 = 0
   • Нижний предел: -2. Подставляем в первообразную: (-(-2)^3)/3 - (-2)^2 = (8)/3 - 4 = 8/3 - 12/3 = -4/3
   • Вычислим разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах: 0 - (-4/3) = 4/3
   • Так как площадь должна быть положительной, берем абсолютное значение: |4/3| = 4/3

Ответ: 4/3

Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если есть еще вопросы, задавай!