Реши все, что есть на этой странице Реши

Хорошо, давай решим задачи с этой страницы.

989. Найти производные функций (задание не полное, но предположу, что нужно найти производные):

1. 3 cos x - 4 sin x; Производная: -3 sin x - 4 cos x.
2. 5 sin x + 2 cos x; Производная: 5 cos x - 2 sin x.
3. e^(-x) - 2 cos x; Производная: -e^(-x) + 2 sin x.
4. 3e^(-x) - sin x; Производная: -3e^(-x) - cos x.
5. 5 - e^(x) + 3 cos x; Производная: -e^(x) - 3 sin x.
6. 1 + 3e^(-x) - 4 cos x; Производная: -3e^(-x) + 4 sin x.
7. 6√x - 2/x + 3e^(x); Производная: 3/√x + 2/x^2 + 3e^(x).
8. 4/√x + 3/x - 2e^(-x); Производная: -2/x^(3/2) - 3/x^2 + 2e^(-x).

990. Найти производные функций:

1. (x + 1)^4; Производная: 4(x + 1)^3.
2. (x - 2)^3; Производная: 3(x - 2)^2.
3. 2/√(x - 2); Производная: -1/(x - 2)^(3/2).
4. 3/∛(x + 3); Производная: -1/(x + 3)^(4/3).
5. 1/(x - 1) + 4 cos(x + 2); Производная: -1/(x - 1)^2 - 4 sin(x + 2).
6. 3/(x - 3) - 2 sin(x - 1); Производная: -3/(x - 3)^2 - 2 cos(x - 1).

991. Найти все первообразные функции:

1. sin(2x + 3); Первообразная: -1/2 cos(2x + 3) + C.
2. cos(3x + 4); Первообразная: 1/3 sin(3x + 4) + C.
3. cos(x/2 - 1); Первообразная: 2 sin(x/2 - 1) + C.
4. sin(x/4 + 5); Первообразная: -4 cos(x/4 + 5) + C.
5. e^(x/2 + 1); Первообразная: 2e^(x/2 + 1) + C.
6. e^(3x - 5); Первообразная: 1/3 e^(3x - 5) + C.
7. 1/(2x); Первообразная: 1/2 ln|x| + C.
8. 1/(3x - 1); Первообразная: 1/3 ln|3x - 1| + C.

992. Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку M:

1. f(x) = 2x + 3, M(1; 2); Первообразная: F(x) = x^2 + 3x + C. Подставляем точку M: 2 = 1^2 + 3 * 1 + C => C = -2. Первообразная: F(x) = x^2 + 3x - 2. Ответ: F(x) = x^2 + 3x - 2

2. f(x) = 4x - 1, M(-1; 3); Первообразная: F(x) = 2x^2 - x + C. Подставляем точку M: 3 = 2*(-1)^2 - (-1) + C => 3 = 2 + 1 + C => C = 0. Первообразная: F(x) = 2x^2 - x. Ответ: F(x) = 2x^2 - x

3. f(x) = sin 2x, M(π/2; 5); Первообразная: F(x) = -1/2 cos(2x) + C. Подставляем точку M: 5 = -1/2 cos(2 * π/2) + C => 5 = -1/2 cos(π) + C => 5 = 1/2 + C => C = 9/2. Первообразная: F(x) = -1/2 cos(2x) + 9/2. Ответ: F(x) = -1/2 cos(2x) + 9/2

4. f(x) = cos 3x, M(0; 0); Первообразная: F(x) = 1/3 sin(3x) + C. Подставляем точку M: 0 = 1/3 sin(3 * 0) + C => 0 = 0 + C => C = 0. Первообразная: F(x) = 1/3 sin(3x). Ответ: F(x) = 1/3 sin(3x)

993. Найти одну из первообразных функций (993-996). (Нужно найти только одну первообразную, без константы C)

1. e^(2x) - cos 3x; Первообразная: 1/2 e^(2x) - 1/3 sin 3x. Ответ: 1/2 e^(2x) - 1/3 sin 3x
2. e^(x/4) + sin 2x; Первообразная: 4e^(x/4) - 1/2 cos 2x. Ответ: 4e^(x/4) - 1/2 cos 2x
3. 2 sin(x/5) - 5e^(3x); Первообразная: -10 cos(x/5) - 5/3 e^(3x). Ответ: -10 cos(x/5) - 5/3 e^(3x)
4. 3 cos(x/7) + 2e^(-x/2); Первообразная: 21 sin(x/7) - 4e^(-x/2). Ответ: 21 sin(x/7) - 4e^(-x/2)
5. √(x/5) + 4 sin(4x + 2); Первообразная: (2√(5)/3) * x^(3/2) - cos(4x + 2). Ответ: (2√(5)/3) * x^(3/2) - cos(4x + 2)
6. 4/√(3x + 1) - 3/(2x - 5); Первообразная: 8√(3x + 1)/3 - 3/2 ln|2x - 5|. Ответ: 8√(3x + 1)/3 - 3/2 ln|2x - 5|

994. Найти одну из первообразных функций.

1. (2x^4 - 4x^3 + x) / 3; Первообразная: (2/15)x^5 - (1/3)x^4 + (1/6)x^2. Ответ: (2/15)x^5 - (1/3)x^4 + (1/6)x^2
2. (6x^3 - 3x + 2) / 5; Первообразная: (3/10)x^4 - (3/10)x^2 + (2/5)x. Ответ: (3/10)x^4 - (3/10)x^2 + (2/5)x
3. (1 + 2x)(x - 3); Раскрываем скобки: x - 3 + 2x^2 - 6x = 2x^2 - 5x - 3. Первообразная: (2/3)x^3 - (5/2)x^2 - 3x. Ответ: (2/3)x^3 - (5/2)x^2 - 3x
4. (2x - 3)(2 + 3x); Раскрываем скобки: 4x + 6x^2 - 6 - 9x = 6x^2 - 5x - 6. Первообразная: 2x^3 - (5/2)x^2 - 6x. Ответ: 2x^3 - (5/2)x^2 - 6x

995. Найти одну из первообразных функций.

1. (2x + 1)√x; (2x + 1)√x = 2x^(3/2) + x^(1/2) Первообразная: (4/5)x^(5/2) + (2/3)x^(3/2). Ответ: (4/5)x^(5/2) + (2/3)x^(3/2)

2. (3x - 2)∛x; (3x - 2)∛x = 3x^(4/3) - 2x^(1/3) Первообразная: (9/7)x^(7/3) - (3/2)x^(4/3). Ответ: (9/7)x^(7/3) - (3/2)x^(4/3)

3. (x + 4) / √x; (x + 4) / √x = x^(1/2) + 4x^(-1/2) Первообразная: (2/3)x^(3/2) + 8x^(1/2). Ответ: (2/3)x^(3/2) + 8x^(1/2)

4. (x - 3) / √x; (x - 3) / √x = x^(1/2) - 3x^(-1/2) Первообразная: (2/3)x^(3/2) - 6x^(1/2). Ответ: (2/3)x^(3/2) - 6x^(1/2)

996. Найти одну из первообразных функций.

1. sin x cos x; Первообразная: 1/2 sin^2(x) или -1/2 cos^2(x). Ответ: 1/2 sin^2(x)

2. sin x cos 3x - cos x sin 3x; Используем формулу синуса разности: sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b. Тогда: sin x cos 3x - cos x sin 3x = sin(x - 3x) = sin(-2x) = -sin(2x). Первообразная: 1/2 cos(2x). Ответ: 1/2 cos(2x)

997. Найти первообразную функции y = 2 sin 5x + 3 cos(x/2), которая при x = π/3 принимает значение, равное 0.

Первообразная: F(x) = -2/5 cos(5x) + 6 sin(x/2) + C. Подставляем x = π/3: 0 = -2/5 cos(5π/3) + 6 sin(π/6) + C 0 = -2/5 * (1/2) + 6 * (1/2) + C 0 = -1/5 + 3 + C C = -14/5 Первообразная: F(x) = -2/5 cos(5x) + 6 sin(x/2) - 14/5. Ответ: F(x) = -2/5 cos(5x) + 6 sin(x/2) - 14/5

998. Найти одну из первообразных функций:

1. x / (x - 3); Выделим целую часть: x / (x - 3) = 1 + 3/(x - 3). Первообразная: x + 3 ln|x - 3|. Ответ: x + 3 ln|x - 3|

2. (x - 1) / (x^2 + x - 2); Разложим знаменатель на множители: x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1). Тогда: (x - 1) / (x^2 + x - 2) = (x - 1) / ((x + 2)(x - 1)) = 1 / (x + 2). Первообразная: ln|x + 2|. Ответ: ln|x + 2|

3. cos^2 x; cos^2 x = (1 + cos 2x) / 2 Первообразная: x/2 + 1/4 sin 2x. Ответ: x/2 + 1/4 sin 2x

4. sin 3x cos 5x. Используем формулу произведения синуса на косинус: sin a cos b = 1/2 [sin(a + b) + sin(a - b)]. sin 3x cos 5x = 1/2 [sin(8x) + sin(-2x)] = 1/2 [sin(8x) - sin(2x)]. Первообразная: -1/16 cos 8x + 1/4 cos 2x. Ответ: -1/16 cos 8x + 1/4 cos 2x

Надеюсь, теперь всё понятно! Если возникнут ещё вопросы, обращайся.