Реши

Привет! Сейчас помогу тебе с этими заданиями.

Обязательная часть

1. Найти производную функции: y = ∛x + (5/x^2) + 12x - 8

2. Преобразуем функцию: y = x^(1/3) + 5 * x^(-2) + 12x - 8

3. Применим правило дифференцирования: y' = (1/3) * x^(-2/3) - 10 * x^(-3) + 12

4. Приведем к исходному виду: y' = 1 / (3 * ∛x^2) - 10 / x^3 + 12

5. Найти частное комплексных чисел: z₁ = 5 - i; z₂ = 2 + i

6. z₁ / z₂ = (5 - i) / (2 + i)

7. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю: ((5 - i) * (2 - i)) / ((2 + i) * (2 - i))
8. Раскроем скобки: (10 - 5i - 2i + i^2) / (4 - i^2)
9. Упростим, учитывая, что i^2 = -1: (10 - 7i - 1) / (4 + 1) = (9 - 7i) / 5

10. z₁ / z₂ = 9/5 - (7/5)i

11. Построить в прямоугольной системе координат, от точки A(0;0), векторы: a = (3; -4); b = (1; 5); c = (-3; -7)

12. На координатной плоскости отложи векторы a, b, и c, исходящие из начала координат (точка A(0;0)).

13. Вектор a с координатами (3; -4) - отложи 3 единицы вправо и 4 единицы вниз.
14. Вектор b с координатами (1; 5) - отложи 1 единицу вправо и 5 единиц вверх.

15. Вектор c с координатами (-3; -7) - отложи 3 единицы влево и 7 единиц вниз.

16. Определите, какие из перечисленных точек A(0; 4); B(2; 10); C(1; 4); Д(-1; 13) принадлежат графику функции y = 9x - 5.

17. Подставим координаты каждой точки в уравнение y = 9x - 5 и проверим, выполняется ли равенство.

18. A(0; 4): 4 = 9 * 0 - 5 => 4 = -5 (неверно)
19. B(2; 10): 10 = 9 * 2 - 5 => 10 = 18 - 5 => 10 = 13 (неверно)
20. C(1; 4): 4 = 9 * 1 - 5 => 4 = 9 - 5 => 4 = 4 (верно)
21. Д(-1; 13): 13 = 9 * (-1) - 5 => 13 = -9 - 5 => 13 = -14 (неверно)

22. Ответ: Точка C(1; 4) принадлежит графику функции.

23. На рисунке 1 изображен график функции f(x). В какой точке отрезка [4; 9] f(x) принимает наибольшее и наименьшее значения.

24. По графику видно, что на отрезке [4; 9] наибольшее значение функция принимает в точке x = 4, а наименьшее - в точке x = 7 (примерно).

25. Ответ: Наибольшее значение в точке x = 4, наименьшее в точке x = 7.

26. При каких значениях x, f(x) ≥ 0 (Рис. 1).

27. По графику определяем, где функция выше оси x (y ≥ 0).

28. Ответ: f(x) ≥ 0 при x ∈ (-∞; -2] ∪ [1; +∞) (примерно)

29. При каких значениях x, f(x) ≤ 0 (Рис. 1).

30. По графику определяем, где функция ниже оси x (y ≤ 0).

31. Ответ: f(x) ≤ 0 при x ∈ [-2; 1] (примерно)

32. При каких значениях x, f'(x) = 0 (Рис. 1).

33. f'(x) = 0 в точках экстремума (максимума и минимума) функции.

34. Ответ: f'(x) = 0 при x ≈ -1, x ≈ 0,5, x ≈ 5, x ≈ 8 (примерно)

35. На клетчатой бумаге с клетками размером 1см×1 см (рис. 2) изображён треугольник. Найдите его площадь.

36. Определим основание и высоту треугольника по клеткам.

37. Основание = 6 см, высота = 3 см.
38. Площадь треугольника: S = (1/2) * основание * высоту = (1/2) * 6 * 3 = 9
39. Ответ: Площадь треугольника равна 9 см².

При выполнении заданий 10-18 запишите ход решения и полученный ответ

1. Найдите производную сложной функции: y = (x⁵ - 3)⁴

   • Применим правило дифференцирования сложной функции: y' = 4 * (x⁵ - 3)³ * (5x⁴)
   • Упростим: y' = 20x⁴ * (x⁵ - 3)³

2. Вычислите: 10^(1/2) * 40^(1/2) * 5^(1/2)

   • Объединим под один корень: √(10 * 40 * 5) = √(2000) = √(400 * 5) = 20√5
   • Ответ: 20√5

3. Вычислить cos 240°

   • cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° = -1/2
   • Ответ: -1/2

4. Решите логарифмическое уравнение: log₃(4x + 2) = 2

   • Представим в показательной форме: 4x + 2 = 3²
   • 4x + 2 = 9
   • 4x = 7
   • x = 7/4
   • Ответ: x = 7/4

5. Вычислить первообразную: f(x) = 18 + x + 3x²

   • F(x) = ∫ (18 + x + 3x²) dx = 18x + (x²/2) + x³ + C
   • Ответ: F(x) = 18x + (x²/2) + x³ + C

6. Вычислить: 25^(log₅7)

   • 25^(log₅7) = (5²)^(log₅7) = 5^(2 * log₅7) = 5^(log₅7²) = 5^(log₅49) = 49
   • Ответ: 49

7. Решите уравнение: 2cos(π/4 + x) = √2

   • cos(π/4 + x) = √2 / 2
   • π/4 + x = ±π/4 + 2πk, где k ∈ Z
   • x = -π/4 ± π/4 + 2πk
   • x₁ = -π/4 + π/4 + 2πk = 2πk
   • x₂ = -π/4 - π/4 + 2πk = -π/2 + 2πk
   • Ответ: x = 2πk, x = -π/2 + 2πk, где k ∈ Z

8. Решите неравенство: (1/8)^(x+3) > 32^(x-2)

   • Преобразуем к одному основанию: (2⁻³)^(x+3) > (2⁵)^(x-2)
   • 2^(-3x - 9) > 2^(5x - 10)
   • -3x - 9 > 5x - 10
   • 1 > 8x
   • x < 1/8
   • Ответ: x < 1/8

9. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = t² - t + 12 (м), где t — время движения в секундах. Найдите скорость тела через 5 с после начала движения.

   • Скорость есть производная от расстояния по времени: v(t) = S'(t) = 2t - 1
   • v(5) = 2 * 5 - 1 = 10 - 1 = 9
   • Ответ: Скорость тела через 5 с равна 9 м/с.

Дополнительная часть

1. Решите уравнение: √(1 + 4x - x²) = x - 1

   • Возведем обе части в квадрат: 1 + 4x - x² = (x - 1)²
   • 1 + 4x - x² = x² - 2x + 1
   • 2x² - 6x = 0
   • 2x(x - 3) = 0
   • x₁ = 0, x₂ = 3
   • Проверим корни подстановкой в исходное уравнение:
   • x₁ = 0: √(1 + 0 - 0) = 0 - 1 => 1 = -1 (неверно)
   • x₂ = 3: √(1 + 12 - 9) = 3 - 1 => √4 = 2 => 2 = 2 (верно)
   • Ответ: x = 3

2. Радиус основания конуса равен 9 см, а образующая конуса равна 15 см. Найти объем конуса.

   • Найдем высоту конуса по теореме Пифагора: h = √(l² - r²) = √(15² - 9²) = √(225 - 81) = √144 = 12 см
   • Объем конуса: V = (1/3) * π * r² * h = (1/3) * π * 9² * 12 = 324π
   • Ответ: Объем конуса равен 324π см³.

3. Решите систему уравнений: {-x + 2y = 4, {Log₂(y - x) = 4

   • Из второго уравнения: y - x = 2⁴ => y - x = 16
   • Выразим x из первого уравнения: x = 2y - 4
   • Подставим в уравнение y - x = 16: y - (2y - 4) = 16
   • y - 2y + 4 = 16
   • -y = 12
   • y = -12
   • Найдем x: x = 2 * (-12) - 4 = -24 - 4 = -28
   • Ответ: x = -28, y = -12

Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Удачи в учёбе!