Помоги решить

Привет! Давай решим эту задачку вместе.

Задание: Постройте график функции y = -5|x-2| + x^2 - 3x + 3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

1. Раскрываем модуль:

   • Если x >= 2, то |x-2| = x-2, и функция принимает вид: y = -5(x-2) + x^2 - 3x + 3 = -5x + 10 + x^2 - 3x + 3 = x^2 - 8x + 13.
   • Если x < 2, то |x-2| = -(x-2) = 2-x, и функция принимает вид: y = -5(2-x) + x^2 - 3x + 3 = -10 + 5x + x^2 - 3x + 3 = x^2 + 2x - 7.

2. Исследуем полученные квадратичные функции:

   • Для x >= 2: y = x^2 - 8x + 13. Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину: x_в = -(-8) / (2 * 1) = 4. y_в = 4^2 - 8 * 4 + 13 = 16 - 32 + 13 = -3. Итак, вершина параболы (4; -3).
   • Для x < 2: y = x^2 + 2x - 7. Это тоже парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину: x_в = -2 / (2 * 1) = -1. y_в = (-1)^2 + 2 * (-1) - 7 = 1 - 2 - 7 = -8. Итак, вершина параболы (-1; -8).

3. Определяем значения функций в точке x = 2:

   • Для x >= 2: y(2) = 2^2 - 8 * 2 + 13 = 4 - 16 + 13 = 1.
   • Для x < 2: y(2) = 2^2 + 2 * 2 - 7 = 4 + 4 - 7 = 1.
   • Заметим, что в точке x = 2 обе функции принимают одинаковое значение y = 1. Значит, в этой точке графики "сшиваются".

4. Строим график (описание):

   • Строим параболу y = x^2 + 2x - 7 для x < 2. Вершина в точке (-1; -8), точка (2; 1) является "граничной".
   • Строим параболу y = x^2 - 8x + 13 для x >= 2. Вершина в точке (4; -3), точка (2; 1) является "граничной".

5. Анализируем количество точек пересечения прямой y = m с графиком:

   • Прямая y = m будет иметь ровно три общие точки с графиком, если она проходит через вершину одной из парабол и пересекает другую параболу в двух точках.

6. Находим значения m:

   • Первая вершина (-1; -8), то есть m = -8.
   • Вторая вершина (4; -3), то есть m = -3.

Ответ: m = -8 и m = -3.