Ответы с решением

Привет! Давай решим эти задачи по геометрии вместе.

Задача 25

Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 123°. Найдите угол BOC.

Решение:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный и AB = BC, углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.
2. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.
3. Подставим известное значение ∠ABC: ∠BAC + ∠BCA + 123° = 180°.
4. Выразим сумму углов ∠BAC и ∠BCA: ∠BAC + ∠BCA = 180° - 123° = 57°.
5. Так как ∠BAC = ∠BCA, то ∠BAC = ∠BCA = 57° / 2 = 28.5°.
6. Угол BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Угол BAC является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу.
7. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу: ∠BOC = 2 * ∠BAC.
8. ∠BOC = 2 * 28.5° = 57°.

Ответ: 57°

Задача 10

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 69°. Найдите угол NMB.

Решение:

1. Угол ANB опирается на диаметр AB, следовательно, он прямой: ∠ANB = 90°.
2. Рассмотрим треугольник ANB. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠NAB + ∠NBA + ∠ANB = 180°.
3. Подставим известные значения: ∠NAB + 69° + 90° = 180°.
4. Выразим ∠NAB: ∠NAB = 180° - 69° - 90° = 21°.
5. Угол NMB опирается на ту же дугу, что и угол NAB, поэтому они равны: ∠NMB = ∠NAB.
6. ∠NMB = 21°.

Ответ: 21°

Задача 8

В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 88°. Найдите угол ACB.

Решение:

1. Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AD.
2. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: ∠ACB = 1/2 * ∠AOD.
3. ∠ACB = 1/2 * 88° = 44°.

Ответ: 44°

Задача 27

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 113°.

Решение:

1. Угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB.
2. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: ∠ACB = 1/2 * ∠AOB.
3. ∠ACB = 1/2 * 113° = 56.5°.

Ответ: 56.5°

Задача 1

В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O — центр окружности. Найдите угол AOB.

Решение:

1. OA и OB - радиусы, проведённые в точки касания, поэтому OA ⊥ AC и OB ⊥ BC. Значит, ∠OAC = 90° и ∠OBC = 90°.
2. Рассмотрим четырёхугольник OACB. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому ∠OAC + ∠ACB + ∠OBC + ∠AOB = 360°.
3. Подставим известные значения: 90° + 83° + 90° + ∠AOB = 360°.
4. Выразим ∠AOB: ∠AOB = 360° - 90° - 83° - 90° = 97°.

Ответ: 97°

Надеюсь, мои объяснения были понятными! Если что-то осталось неясным, спрашивай.