Реши задания с фотографии, распиши решения подробно

Привет! Давай решим эти задания по порядку.

Задание 6

Нам нужно найти угол, который касательная к графику функции y = 5 - (1/2)x² в точке с абсциссой x = -√3 образует с осью абсцисс.

1. Найдём производную функции: y' = (5 - (1/2)x²)’ = -x

2. Вычислим значение производной в точке x = -√3: y'(-√3) = -(-√3) = √3

3. Вспомним геометрический смысл производной: Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. То есть, tg(α) = √3, где α - угол между касательной и осью абсцисс.

4. Определим угол α: Мы знаем, что tg(60°) = √3. Значит, угол α = 60°.

Ответ: 60°

Задание 7

Нужно доказать, что функция y = 3sin(3x) удовлетворяет соотношению (y'/27)² = 9 - y².

1. Найдём производную функции: y' = (3sin(3x))' = 3 * cos(3x) * 3 = 9cos(3x)

2. Подставим y' и y в левую часть уравнения: (y'/27)² = (9cos(3x) / 27)² = (cos(3x) / 3)² = cos²(3x) / 9

3. Подставим y в правую часть уравнения: 9 - y² = 9 - (3sin(3x))² = 9 - 9sin²(3x) = 9(1 - sin²(3x)) = 9cos²(3x)

4. Приведём обе части уравнения к общему виду. Преобразуем левую часть: (y'/27)² = cos²(3x) / 9

5. Домножим левую часть на 9: 9 * (y'/27)² = cos²(3x)

6. Сравним обе части: Слева: 9(cos²(3x) / 9) = cos²(3x) Справа: 9cos²(3x)*

7. Ой, кажется, я допустил ошибку в начале. Давай проверим условие. Действительно ли там (y'/27)^2, а не (y')^2 / 27? Если там (y')^2 / 27, то решение будет таким:

(y')²/27 = (9cos(3x))² / 27 = 81cos²(3x) / 27 = 3cos²(3x)

Тогда нужно показать, что 3cos²(3x) = 9 - y² = 9 - 9sin²(3x) = 9(1-sin²(3x)) = 9cos²(3x). Опять не сходится.

1. В условии точно нет ошибки? Если в условии (y'/3)^2 = 9 - y^2, то решение такое:

   1. y' = 9cos(3x)
   2. (y'/3)^2 = (9cos(3x)/3)^2 = (3cos(3x))^2 = 9cos^2(3x)
   3. 9 - y^2 = 9 - (3sin(3x))^2 = 9 - 9sin^2(3x) = 9(1 - sin^2(3x)) = 9cos^2(3x)

   В этом случае, левая и правая части равны.

Вывод: Чтобы доказать, нужно убедиться в правильности условия. Если условие (y'/3)² = 9 - y², то утверждение верно.

Задание 8

Нужно найти значения параметра a, при которых касательная к графику функции y = cos(7x) + 7cos(x) в точке с абсциссой a параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой π/6.

1. Условие параллельности касательных: Касательные параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент касательной – это значение производной функции в точке касания.

2. Найдём производную функции: y' = (cos(7x) + 7cos(x))' = -7sin(7x) - 7sin(x)

3. Вычислим значение производной в точке x = a: y'(a) = -7sin(7a) - 7sin(a)

4. Вычислим значение производной в точке x = π/6: y'(π/6) = -7sin(7π/6) - 7sin(π/6) = -7(-1/2) - 7(1/2) = 7/2 - 7/2 = 0

5. Приравняем значения производных (условие параллельности): y'(a) = y'(π/6) -7sin(7a) - 7sin(a) = 0 sin(7a) + sin(a) = 0

6. Решим тригонометрическое уравнение: Используем формулу суммы синусов: sin(x) + sin(y) = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) 2sin((7a+a)/2)cos((7a-a)/2) = 0 2sin(4a)cos(3a) = 0

   Это уравнение выполняется, если: sin(4a) = 0 или cos(3a) = 0

7. Решим уравнение sin(4a) = 0: 4a = πn, где n – целое число. a = πn/4

8. Решим уравнение cos(3a) = 0: 3a = π/2 + πk, где k – целое число. a = π/6 + πk/3

Ответ: a = πn/4 или a = π/6 + πk/3, где n и k - целые числа.

Надеюсь, всё понятно! Если есть вопросы, задавай!