Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=2sinx+sin2x на отрезке [0;3П/2]

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2sinx + sin2x на отрезке [0; 3π/2].

1. Находим производную функции:

Сначала найдем производную f'(x), чтобы определить критические точки.

f(x) = 2sinx + sin2x f'(x) = 2cosx + 2cos2x

2. Находим критические точки:

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2cosx + 2cos2x = 0 cosx + cos2x = 0

Вспоминаем формулу cos2x = 2cos²x - 1:

cosx + 2cos²x - 1 = 0 2cos²x + cosx - 1 = 0

Делаем замену: y = cosx

2y² + y - 1 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9 y₁ = (-1 + √9) / (2 * 2) = (-1 + 3) / 4 = 2/4 = 1/2 y₂ = (-1 - √9) / (2 * 2) = (-1 - 3) / 4 = -4/4 = -1

Теперь возвращаемся к замене:

cosx = 1/2 => x = π/3 + 2πn или x = -π/3 + 2πn cosx = -1 => x = π + 2πn

Нам нужен отрезок [0; 3π/2]. Выбираем значения x, которые попадают в этот отрезок:

x₁ = π/3 x₂ = π x₃ = 5π/3 - не подходит, так как больше 3π/2 (это 4.71)

3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

Теперь нам нужно вычислить значения функции f(x) в найденных критических точках (π/3 и π) и на концах отрезка (0 и 3π/2).

f(0) = 2sin(0) + sin(2*0) = 0 f(π/3) = 2sin(π/3) + sin(2π/3) = 2 * (√3/2) + √3/2 = √3 + √3/2 = 3√3/2 ≈ 2.598 f(π) = 2sin(π) + sin(2π) = 0 f(3π/2) = 2sin(3π/2) + sin(3π) = 2 * (-1) + 0 = -2

4. Определяем наибольшее и наименьшее значения:

Сравниваем полученные значения:

f(0) = 0 f(π/3) ≈ 2.598 f(π) = 0 f(3π/2) = -2

Наибольшее значение: 3√3/2 Наименьшее значение: -2

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [0; 3π/2] равно 3√3/2, наименьшее значение равно -2.