Интеграл от 1 до 2 (5x-2)/x корень третьей степени x

Привет! Давай разберем этот интеграл. Он выглядит немного сложно, но мы справимся с ним по шагам.

1. Преобразование подынтегральной функции:

Сначала нужно упростить выражение под интегралом. Запишем корень в виде степени и разделим дробь:

(5x - 2) / (x * x^(1/3)) = (5x - 2) / x^(4/3) = 5x / x^(4/3) - 2 / x^(4/3) = 5x^(1 - 4/3) - 2x^(-4/3) = 5x^(-1/3) - 2x^(-4/3)

Теперь интеграл выглядит проще:

∫(от 1 до 2) (5x^(-1/3) - 2x^(-4/3)) dx

2. Нахождение первообразной:

Теперь найдем первообразную каждой части выражения. Вспомним, что интеграл от x^n равен (x^(n+1)) / (n+1) + C, где C - константа интегрирования.

• Для 5x^(-1/3): Первообразная будет 5 * (x^(-1/3 + 1)) / (-1/3 + 1) = 5 * (x^(2/3)) / (2/3) = (15/2) * x^(2/3)

• Для -2x^(-4/3): Первообразная будет -2 * (x^(-4/3 + 1)) / (-4/3 + 1) = -2 * (x^(-1/3)) / (-1/3) = 6 * x^(-1/3)

Итак, первообразная нашей функции:

(15/2) * x^(2/3) + 6 * x^(-1/3)

3. Вычисление определенного интеграла:

Теперь нужно вычислить значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования и найти их разность.

• При x = 2: (15/2) * 2^(2/3) + 6 * 2^(-1/3) = (15/2) * 2^(2/3) + 6 / 2^(1/3)

• При x = 1: (15/2) * 1^(2/3) + 6 * 1^(-1/3) = 15/2 + 6 = 15/2 + 12/2 = 27/2

Теперь вычтем значение первообразной в точке 1 из значения в точке 2:

[(15/2) * 2^(2/3) + 6 / 2^(1/3)] - 27/2

Чтобы упростить выражение, можно привести все к общему знаменателю и выполнить вычисления. Для этого нам понадобятся приближенные значения корней.

2^(2/3) ≈ 1.587 2^(1/3) ≈ 1.260

Подставляем значения:

[(15/2) * 1.587 + 6 / 1.260] - 27/2 ≈ [11.9025 + 4.762] - 13.5 ≈ 16.6645 - 13.5 ≈ 3.1645

Округлим до сотых: 3.16

Ответ: Интеграл от 1 до 2 (5x-2)/(x * корень третьей степени x) равен приблизительно 3.16.