Реши уравнения

Привет! Давай решим уравнения по порядку.

1) (1 / (x^2 - 2x + 2)) + (2 / (x^2 - 2x + 3)) = 6 / (x^2 - 2x + 4)

Сделаем замену: y = x^2 - 2x. Тогда уравнение примет вид:

(1 / (y + 2)) + (2 / (y + 3)) = 6 / (y + 4)

Приведем к общему знаменателю:

((y + 3) + 2(y + 2)) / ((y + 2)(y + 3)) = 6 / (y + 4)

(y + 3 + 2y + 4) / (y^2 + 5y + 6) = 6 / (y + 4)

(3y + 7) / (y^2 + 5y + 6) = 6 / (y + 4)

Перемножим крест-накрест:

(3y + 7)(y + 4) = 6(y^2 + 5y + 6)

3y^2 + 12y + 7y + 28 = 6y^2 + 30y + 36

3y^2 + 19y + 28 = 6y^2 + 30y + 36

0 = 3y^2 + 11y + 8

Решим квадратное уравнение относительно y:

D = 11^2 - 4 * 3 * 8 = 121 - 96 = 25

y1 = (-11 + 5) / 6 = -1

y2 = (-11 - 5) / 6 = -8/3

Теперь вернемся к замене: y = x^2 - 2x

• Случай 1: x^2 - 2x = -1

x^2 - 2x + 1 = 0

(x - 1)^2 = 0

x = 1

• Случай 2: x^2 - 2x = -8/3

x^2 - 2x + 8/3 = 0

3x^2 - 6x + 8 = 0

D = 36 - 4 * 3 * 8 = 36 - 96 = -60 (нет решений, т.к. дискриминант отрицательный)

Ответ: x = 1

2) 24 / (x^2 + 2x - 8) - 15 / (x^2 + 2x - 3) = 2

Сделаем замену: y = x^2 + 2x. Тогда уравнение примет вид:

24 / (y - 8) - 15 / (y - 3) = 2

Приведем к общему знаменателю:

(24(y - 3) - 15(y - 8)) / ((y - 8)(y - 3)) = 2

(24y - 72 - 15y + 120) / (y^2 - 11y + 24) = 2

(9y + 48) / (y^2 - 11y + 24) = 2

Перемножим крест-накрест:

9y + 48 = 2(y^2 - 11y + 24)

9y + 48 = 2y^2 - 22y + 48

0 = 2y^2 - 31y

0 = y(2y - 31)

Следовательно, либо y = 0, либо 2y - 31 = 0 => y = 31/2

Теперь вернемся к замене: y = x^2 + 2x

• Случай 1: x^2 + 2x = 0

x(x + 2) = 0

x = 0 или x = -2

• Случай 2: x^2 + 2x = 31/2

2x^2 + 4x - 31 = 0

D = 16 - 4 * 2 * (-31) = 16 + 248 = 264

x1 = (-4 + sqrt(264)) / 4 = (-4 + 2*sqrt(66)) / 4 = (-2 + sqrt(66)) / 2

x2 = (-4 - sqrt(264)) / 4 = (-4 - 2*sqrt(66)) / 4 = (-2 - sqrt(66)) / 2

Ответ: x = 0, x = -2, x = (-2 + sqrt(66)) / 2, x = (-2 - sqrt(66)) / 2

3) 3 / (1 + x + x^2) = 3 - x - x^2

Перенесем все в одну сторону:

3 / (1 + x + x^2) + x^2 + x - 3 = 0

Приведем к общему знаменателю:

(3 + (x^2 + x - 3)(1 + x + x^2)) / (1 + x + x^2) = 0

Раскроем скобки в числителе:

3 + x^2 + x^3 + x - 3x - 3 + x^4 + x^3 - 3x^2 = 0

x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 2x = 0

x(x^3 + 2x^2 - 2x - 2) = 0

x = 0 или x^3 + 2x^2 - 2x - 2 = 0

Попробуем разложить на множители кубическое уравнение:

x^2(x + 2) - 2(x + 1) = 0 (не получается разложить на множители)

Используем метод подбора корней. Если x = 1, то 1 + 2 - 2 - 2 = -1 (не подходит)

Если x = -1, то -1 + 2 + 2 - 2 = 1 (не подходит)

Видим, что кубическое уравнение не имеет простых рациональных корней. Можно использовать численные методы для нахождения приблизительных значений корней, но это выходит за рамки школьной программы. Оставим кубическое уравнение без решения.

Ответ: x = 0 (и возможно, еще 3 корня, которые сложно найти аналитически)

4) (x^2 + x - 3) / 2 - 3 / (2x^2 + 2x - 6) = 1

Заметим, что 2x^2 + 2x - 6 = 2(x^2 + x - 3)

Тогда уравнение можно переписать:

(x^2 + x - 3) / 2 - 3 / (2(x^2 + x - 3)) = 1

Пусть y = x^2 + x - 3. Тогда уравнение примет вид:

y / 2 - 3 / (2y) = 1

Умножим обе части на 2y:

y^2 - 3 = 2y

y^2 - 2y - 3 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 4 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

y1 = (2 + 4) / 2 = 3

y2 = (2 - 4) / 2 = -1

Теперь вернемся к замене: y = x^2 + x - 3

• Случай 1: x^2 + x - 3 = 3

x^2 + x - 6 = 0

(x + 3)(x - 2) = 0

x = -3 или x = 2

• Случай 2: x^2 + x - 3 = -1

x^2 + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0

x = -2 или x = 1

Ответ: x = -3, x = 2, x = -2, x = 1

5) 6 / ((x + 1)(x + 2)) + 8 / ((x - 1)(x + 4)) = 1

6 / (x^2 + 3x + 2) + 8 / (x^2 + 3x - 4) = 1

Пусть y = x^2 + 3x

6 / (y + 2) + 8 / (y - 4) = 1

Приведем к общему знаменателю:

(6(y - 4) + 8(y + 2)) / ((y + 2)(y - 4)) = 1

(6y - 24 + 8y + 16) / (y^2 - 2y - 8) = 1

(14y - 8) / (y^2 - 2y - 8) = 1

Перемножим крест-накрест:

14y - 8 = y^2 - 2y - 8

0 = y^2 - 16y

0 = y(y - 16)

Следовательно, y = 0 или y = 16

Теперь вернемся к замене: y = x^2 + 3x

• Случай 1: x^2 + 3x = 0

x(x + 3) = 0

x = 0 или x = -3

• Случай 2: x^2 + 3x = 16

x^2 + 3x - 16 = 0

D = 9 - 4 * 1 * (-16) = 9 + 64 = 73

x1 = (-3 + sqrt(73)) / 2

x2 = (-3 - sqrt(73)) / 2

Ответ: x = 0, x = -3, x = (-3 + sqrt(73)) / 2, x = (-3 - sqrt(73)) / 2

Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если возникнут еще вопросы, обязательно спрашивай.