Вычислить пределы функций

Привет! Давай разберем эти задания по порядку.

1. Вычислить пределы функций

a) lim (x→∞) x(x+1)(x+2) / (2x^3 + 5)

Чтобы вычислить этот предел, разделим числитель и знаменатель на x^3 (наивысшая степень x в знаменателе):

lim (x→∞) [x(x+1)(x+2) / x^3] / [(2x^3 + 5) / x^3] = lim (x→∞) [(1 + 1/x)(1 + 2/x)] / [2 + 5/x^3]

Когда x стремится к бесконечности, 1/x и 5/x^3 стремятся к 0. Поэтому:

lim (x→∞) [(1 + 0)(1 + 0)] / [2 + 0] = 1/2

Ответ: 1/2

б) lim (x→2) (x^2 + 6x - 16) / (3x^2 - 5x - 2)

Сначала проверим, что будет, если просто подставить x = 2:

(2^2 + 62 - 16) / (32^2 - 5*2 - 2) = (4 + 12 - 16) / (12 - 10 - 2) = 0/0

Получается неопределенность. Разложим числитель и знаменатель на множители:

x^2 + 6x - 16 = (x - 2)(x + 8) 3x^2 - 5x - 2 = (x - 2)(3x + 1)

Тогда предел можно переписать так:

lim (x→2) [(x - 2)(x + 8)] / [(x - 2)(3x + 1)] = lim (x→2) (x + 8) / (3x + 1)

Теперь можно подставить x = 2:

(2 + 8) / (3*2 + 1) = 10 / 7

Ответ: 10/7

в) lim (x→4) (√(20 - x) - x) / (x^2 - 16)

Подставим x=4: (√(20-4) - 4) / (4^2 - 16) = (4-4)/0 = 0/0. Неопределенность.

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю: √(20 - x) + x

lim (x→4) [(√(20 - x) - x)(√(20 - x) + x)] / [(x^2 - 16)(√(20 - x) + x)] = lim (x→4) (20 - x - x^2) / [(x^2 - 16)(√(20 - x) + x)]

Разложим на множители: 20 - x - x^2 = -(x - 4)(x + 5), x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)

lim (x→4) [-(x - 4)(x + 5)] / [(x - 4)(x + 4)(√(20 - x) + x)] = lim (x→4) -(x + 5) / [(x + 4)(√(20 - x) + x)]

Подставим x = 4: -(4 + 5) / [(4 + 4)(√(20 - 4) + 4)] = -9 / [8 * (4 + 4)] = -9 / 64

Ответ: -9/64

г) lim (x→0) ln(2 * √(1 + 3x)) / x

Сначала упростим выражение: ln(2 * √(1 + 3x)) = ln(2) + ln(√(1 + 3x)) = ln(2) + 1/2 * ln(1 + 3x)

lim (x→0) [ln(2) + 1/2 * ln(1 + 3x)] / x

Так как lim (x→0) ln(2)/x = ∞, нужно применить правило Лопиталя к ln(1+3x) / x

lim (x→0) ln(1+3x) / x = lim (x→0) (1/(1+3x) * 3) / 1 = 3

Тогда исходный предел стремится к бесконечности.

Ответ: предела не существует (стремится к бесконечности)

2. Найти производные функций

a) y = ln(arctgx)

y' = (1 / arctgx) * (1 / (1 + x^2)) = 1 / (arctgx * (1 + x^2))

Ответ: y' = 1 / (arctgx * (1 + x^2))

б) y = cos(2x) * sin^2(x)

y' = -2sin(2x) * sin^2(x) + cos(2x) * 2sin(x) * cos(x) = -2sin(2x)sin^2(x) + cos(2x)sin(2x) = sin(2x)[cos(2x) - 2sin^2(x)]

Так как cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x), то cos(2x) - 2sin^2(x) = cos^2(x) - 3sin^2(x) = cos(2x) - 2sin^2(x)

Ответ: y' = sin(2x)[cos(2x) - 2sin^2(x)]

в) y = x * arctgx, найти вторую производную

y' = arctgx + x * (1 / (1 + x^2)) = arctgx + x / (1 + x^2)

y'' = 1 / (1 + x^2) + [1 * (1 + x^2) - x * 2x] / (1 + x^2)^2 = 1 / (1 + x^2) + (1 + x^2 - 2x^2) / (1 + x^2)^2 = 1 / (1 + x^2) + (1 - x^2) / (1 + x^2)^2 = [1 + x^2 + 1 - x^2] / (1 + x^2)^2 = 2 / (1 + x^2)^2

Ответ: y'' = 2 / (1 + x^2)^2

3. Исследовать функцию и построить график

y = x + 1/x

1. Область определения: x ≠ 0.

2. Четность/нечетность: y(-x) = -x + 1/(-x) = -x - 1/x = -(x + 1/x) = -y(x). Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат.

3. Пересечение с осями:

   • С осью Ox: 0 = x + 1/x => x^2 = -1. Решений нет. Не пересекает.
   • С осью Oy: x = 0, но это исключено из области определения.

4. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: x = 0.
   • Наклонная асимптота: y = kx + b k = lim (x→∞) y/x = lim (x→∞) (x + 1/x) / x = lim (x→∞) (1 + 1/x^2) = 1 b = lim (x→∞) (y - kx) = lim (x→∞) (x + 1/x - x) = lim (x→∞) 1/x = 0 Наклонная асимптота: y = x

5. Производная и экстремумы: y' = 1 - 1/x^2 Приравниваем к нулю: 1 - 1/x^2 = 0 => x^2 = 1 => x = ±1

   • x = 1: y = 1 + 1/1 = 2
   • x = -1: y = -1 + 1/(-1) = -2

6. Вторая производная и точки перегиба: y'' = 2/x^3 y'' = 0 не имеет решений. Точек перегиба нет.

7. Интервалы монотонности и выпуклости:

   • y' > 0 при x < -1 и x > 1 (функция возрастает)
   • y' < 0 при -1 < x < 0 и 0 < x < 1 (функция убывает)
   • y'' > 0 при x > 0 (функция выпукла вниз)
   • y'' < 0 при x < 0 (функция выпукла вверх)

8. График:

Опишу словами график. У нас есть вертикальная асимптота x=0 и наклонная асимптота y=x. Функция убывает от -∞ до -1 (где y=-2), затем возрастает от -1 до 0. После этого функция убывает от 0 до 1 (где y=2), а затем возрастает от 1 до +∞. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

Надеюсь, теперь тебе всё понятно!