реши

Привет! Давай исследуем функции на монотонность.

а) y = x^3 / 3 - 5x^2 / 2 + 6x - 19

Чтобы исследовать функцию на монотонность, нужно найти её производную и определить знаки производной на разных интервалах.

1. Находим производную функции: y' = (x^3 / 3)' - (5x^2 / 2)' + (6x)' - (19)' y' = x^2 - 5x + 6

2. Приравниваем производную к нулю и находим точки экстремума: x^2 - 5x + 6 = 0 Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета: x1 + x2 = 5 x1 * x2 = 6 Отсюда x1 = 2, x2 = 3

3. Определяем знаки производной на интервалах: У нас есть две точки: 2 и 3. Они разбивают числовую прямую на три интервала:

   • (-∞; 2)
   • (2; 3)
   • (3; +∞)

   Подставляем значения из каждого интервала в производную y' = x^2 - 5x + 6:

   • x = 0 (из интервала (-∞; 2)): y'(0) = 0^2 - 5*0 + 6 = 6 > 0 (функция возрастает)
   • x = 2.5 (из интервала (2; 3)): y'(2.5) = (2.5)^2 - 5*2.5 + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0 (функция убывает)
   • x = 4 (из интервала (3; +∞)): y'(4) = 4^2 - 5*4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0 (функция возрастает)

4. Вывод:

   • На интервале (-∞; 2) функция возрастает.
   • На интервале (2; 3) функция убывает.
   • На интервале (3; +∞) функция возрастает.

б) y = sin(x) - 3x

1. Находим производную функции: y' = (sin(x))' - (3x)' y' = cos(x) - 3

2. Определяем знаки производной: Так как cos(x) всегда находится в пределах от -1 до 1 (-1 <= cos(x) <= 1), то: cos(x) - 3 <= 1 - 3 cos(x) - 3 <= -2

   Следовательно, y' = cos(x) - 3 всегда меньше нуля.

3. Вывод: Производная y' = cos(x) - 3 всегда отрицательна, значит, функция y = sin(x) - 3x всегда убывает на всей числовой прямой.

Надеюсь, теперь тебе всё понятно!