реши и начерти график

Привет! Давай вместе разберем, как найти уравнение касательной к графику функции.

Общая схема решения

Чтобы написать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀, нам понадобится следующая формула:

y = f(x₀) + f'(x₀) * (x - x₀)

Здесь:

• f(x₀) – значение функции в точке x₀
• f'(x₀) – значение производной функции в точке x₀

Теперь рассмотрим каждый пример из твоего задания:

1) f(x) = x² + x + 1, x₀ = 1

• Найдем f(x₀): f(1) = 1² + 1 + 1 = 3

• Найдем производную f'(x): f'(x) = 2x + 1

• Найдем f'(x₀): f'(1) = 2 * 1 + 1 = 3

• Подставим все в формулу касательной: y = 3 + 3 * (x - 1) y = 3 + 3x - 3 y = 3x

Ответ: y = 3x

2) f(x) = x - 3x², x₀ = 2

• Найдем f(x₀): f(2) = 2 - 3 * 2² = 2 - 12 = -10

• Найдем производную f'(x): f'(x) = 1 - 6x

• Найдем f'(x₀): f'(2) = 1 - 6 * 2 = 1 - 12 = -11

• Подставим все в формулу касательной: y = -10 + (-11) * (x - 2) y = -10 - 11x + 22 y = -11x + 12

Ответ: y = -11x + 12

3) f(x) = 1/x, x₀ = 3

• Найдем f(x₀): f(3) = 1/3

• Найдем производную f'(x): f'(x) = -1/x²

• Найдем f'(x₀): f'(3) = -1/3² = -1/9

• Подставим все в формулу касательной: y = 1/3 + (-1/9) * (x - 3) y = 1/3 - x/9 + 3/9 y = -x/9 + 2/3

Ответ: y = -x/9 + 2/3

4) f(x) = 1/x, x₀ = -2

• Найдем f(x₀): f(-2) = 1/(-2) = -1/2

• Найдем производную f'(x): f'(x) = -1/x²

• Найдем f'(x₀): f'(-2) = -1/(-2)² = -1/4

• Подставим все в формулу касательной: y = -1/2 + (-1/4) * (x - (-2)) y = -1/2 - x/4 - 2/4 y = -x/4 - 1

Ответ: y = -x/4 - 1

5) f(x) = sin x, x₀ = π/4

• Найдем f(x₀): f(π/4) = sin(π/4) = √2/2

• Найдем производную f'(x): f'(x) = cos x

• Найдем f'(x₀): f'(π/4) = cos(π/4) = √2/2

• Подставим все в формулу касательной: y = √2/2 + (√2/2) * (x - π/4) y = (√2/2) * x + √2/2 - (π√2)/8

Ответ: y = (√2/2) * x + √2/2 - (π√2)/8

6) f(x) = eˣ, x₀ = 0

• Найдем f(x₀): f(0) = e⁰ = 1

• Найдем производную f'(x): f'(x) = eˣ

• Найдем f'(x₀): f'(0) = e⁰ = 1

• Подставим все в формулу касательной: y = 1 + 1 * (x - 0) y = x + 1

Ответ: y = x + 1

7) f(x) = ln x, x₀ = 1

• Найдем f(x₀): f(1) = ln(1) = 0

• Найдем производную f'(x): f'(x) = 1/x

• Найдем f'(x₀): f'(1) = 1/1 = 1

• Подставим все в формулу касательной: y = 0 + 1 * (x - 1) y = x - 1

Ответ: y = x - 1

8) f(x) = √x, x₀ = 1

• Найдем f(x₀): f(1) = √1 = 1

• Найдем производную f'(x): f'(x) = 1/(2√x)

• Найдем f'(x₀): f'(1) = 1/(2√1) = 1/2

• Подставим все в формулу касательной: y = 1 + (1/2) * (x - 1) y = 1 + x/2 - 1/2 y = x/2 + 1/2

Ответ: y = x/2 + 1/2

Надеюсь, теперь тебе стало понятнее! Если возникнут еще вопросы, обязательно спрашивай.