В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса пря- мого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипо- тенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажи- те, что полученный четырёхугольник - квадрат.

Привет! Давай докажем, что полученный четырехугольник — квадрат.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90 градусов)
• CD – биссектриса угла C
• Через точку E (пересечение CD и AB) проведены прямые, параллельные катетам, образующие четырехугольник CFED

Доказать: CFED – квадрат

Доказательство:

1. CD – биссектриса угла C. Значит, угол ACD = углу BCD = 45 градусов.

2. CFED – параллелограмм, так как FE || AC и DE || BC (по условию).

3. Рассмотрим треугольник CDE. Угол DCE = 45 градусов (так как CD – биссектриса). Угол DEC = углу ACD = 45 градусов (как соответственные углы при параллельных прямых AC и FE и секущей CD).

4. Треугольник CDE – равнобедренный, так как углы DCE и DEC равны (оба по 45 градусов). Значит, CE = CF.

5. Так как CFED – параллелограмм и CE = CF, то CFED – ромб (параллелограмм, у которого смежные стороны равны).

6. Угол C = 90 градусов (по условию). Так как CFED – параллелограмм, то и угол F = 90 градусов.

7. Так как CFED – ромб и один из его углов прямой, то CFED – квадрат.

Вывод: Мы доказали, что четырехугольник CFED является квадратом.