Реши задания 1018, 1019, 1020 подробно и с объяснениями ПОЛНОСТЬЮ

Привет! Давай разберем эти задания.

Задание 1018. Преобразование в произведение

а) a² + b² - 2ab - 25

• Заметим, что a² + b² - 2ab можно свернуть в (a - b)².
• Получаем (a - b)² - 25.
• 25 это 5², поэтому у нас разность квадратов: (a - b)² - 5².

• Разность квадратов раскладывается как (x - y)(x + y), где x = (a - b), y = 5.

  Получаем: (a - b - 5)(a - b + 5)

б) 36 - b² - c² + 2bc

• Перегруппируем: 36 - (b² + c² - 2bc).
• В скобках видим (b - c)².
• Получаем 36 - (b - c)².
• 36 это 6², значит, снова разность квадратов: 6² - (b - c)².
• Раскладываем: (6 - (b - c))(6 + (b - c)).
• Упрощаем: (6 - b + c)(6 + b - c)

в) 49 - 2ax - a² - x²

• Перегруппируем: 49 - (a² + 2ax + x²).
• В скобках видим (a + x)².
• Получаем 49 - (a + x)².
• 49 это 7², значит, разность квадратов: 7² - (a + x)².
• Раскладываем: (7 - (a + x))(7 + (a + x)).
• Упрощаем: (7 - a - x)(7 + a + x)

г) b² – a² – 12a – 36

• Перегруппируем: b² - (a² + 12a + 36)
• В скобках видим (a + 6)²
• Получаем b² - (a + 6)²
• Раскладываем разность квадратов: (b - (a + 6))(b + (a + 6))
• Упрощаем: (b - a - 6)(b + a + 6)

д) 81a² + 6bc – 9b² – c²

• Перегруппируем: 81a² - (9b² - 6bc + c²)
• В скобках видим (3b - c)²
• Получаем (9a)² - (3b - c)²
• Раскладываем разность квадратов: (9a - (3b - c))(9a + (3b - c))
• Упрощаем: (9a - 3b + c)(9a + 3b - c)

e) b²c² – 4bc – b² – c² + 1

• Перегруппируем: b²c² - 2bc - 2bc - b² - c² + 1
• Сгруппируем: (b²c² - 2bc + 1) - b² - c² - 2bc + 4bc
• (bc - 1)² - (b² + 2bc + c²)
• (bc - 1)² - (b + c)²
• Раскладываем разность квадратов: (bc - 1 - b - c)(bc - 1 + b + c)
• Упрощаем: (bc - b - c - 1)(bc + b + c - 1)

Задание 1019. Разложение на множители

а) x³ + y³ + 2xy(x + y)

• Сгруппируем: (x³ + y³) + 2xy(x + y)
• Вспомним формулу суммы кубов: x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)
• Подставим: (x + y)(x² - xy + y²) + 2xy(x + y)
• Вынесем (x + y) за скобку: (x + y)(x² - xy + y² + 2xy)
• Упростим: (x + y)(x² + xy + y²)

б) x³ - y³ - 5x(x² + xy + y²)

• Вспомним формулу разности кубов: x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)
• Подставим: (x - y)(x² + xy + y²) - 5x(x² + xy + y²)
• Вынесем (x² + xy + y²) за скобку: (x² + xy + y²)(x - y - 5x)
• Упростим: (x² + xy + y²)(-4x - y)

в) 2b³ + a(a² - 3b²)

• Раскроем скобки: 2b³ + a³ - 3ab²
• Перегруппируем: a³ + 2b³ - 3ab²
• К сожалению, тут сразу не видно формулы. Попробуем добавить и вычесть одно и тоже слагаемое, чтобы увидеть закономерность, например ab².
• a³ + 2b³ - 3ab² = a³ + 2b³ - 3ab² + ab² - ab² = a³ - ab² -3ab² + ab² + 2b³ = a(a²-b²) - b²(3a - 2b). Дальше упростить не получается.
• Ответ: a³ + 2b³ - 3ab²

г) p³ - 2p² + 2p - 1

• Сгруппируем: (p³ - 1) - (2p² - 2p)
• Вспомним формулу разности кубов: p³ - 1 = (p - 1)(p² + p + 1)
• Вынесем 2p за скобку во втором слагаемом: 2p² - 2p = 2p(p - 1)
• Подставим: (p - 1)(p² + p + 1) - 2p(p - 1)
• Вынесем (p - 1) за скобку: (p - 1)(p² + p + 1 - 2p)
• Упростим: (p - 1)(p² - p + 1)

д) 8b³ + 6b² + 3b + 1

• Заметим, что 8b³ = (2b)³, а 1 = 1³. Попробуем представить это как (2b + 1)³
• (2b + 1)³ = (2b)³ + 3(2b)²1 + 32b1² + 1³ = 8b³ + 12b² + 6b + 1
• Тогда выражение можно переписать как: 8b³ + 6b² + 3b + 1 = 8b³ + 12b² + 6b + 1 - 6b² - 3b
• = (2b + 1)³ - 6b² - 3b
• Упростить не получается.
• Ответ: 8b³ + 6b² + 3b + 1

e) a³ - 4a² + 20a - 125

• Попробуем подобрать корень многочлена. Если a = 5, то:
• 5³ - 45² + 205 - 125 = 125 - 100 + 100 - 125 = 0. Значит, a = 5 - корень.
• Тогда многочлен делится на (a - 5). Разделим столбиком или подбором.
• a³ - 4a² + 20a - 125 = (a - 5)(a² + a + 25)
• Ответ: (a - 5)(a² + a + 25)

Задание 1020. Представить в виде произведения

а) x³ + y³ + 2x² - 2xy + 2y²

• Сгруппируем: (x³ + y³) + (2x² - 2xy + 2y²)
• Вспомним формулу суммы кубов: x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)
• Подставим: (x + y)(x² - xy + y²) + (2x² - 2xy + 2y²)
• (x + y)(x² - xy + y²) + 2(x² - xy + y²)
• Вынесем (x² - xy + y²) за скобку: (x² - xy + y²)(x + y + 2)
• Ответ: (x² - xy + y²)(x + y + 2)

б) a³ - b³ + 3a² + 3ab + 3b²

• Вспомним формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
• Подставим: (a - b)(a² + ab + b²) + 3(a² + ab + b²)
• Вынесем (a² + ab + b²) за скобку: (a² + ab + b²)(a - b + 3)
• Ответ: (a² + ab + b²)(a - b + 3)

в) a⁴ + ab³ - a³b – b⁴

• Сгруппируем: a⁴ - a³b + ab³ - b⁴
• Вынесем общие множители: a³(a - b) + b³(a - b)
• Вынесем (a - b) за скобку: (a - b)(a³ + b³)
• Вспомним формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
• Подставим: (a - b)(a + b)(a² - ab + b²)

г) x⁴ + x³y – xy³ – y⁴

• Сгруппируем: (x⁴ - y⁴) + (x³y - xy³)
• Разность четвертых степеней: (x⁴ - y⁴) = (x² - y²)(x² + y²) = (x - y)(x + y)(x² + y²)
• Вынесем xy за скобку во втором слагаемом: xy(x² - y²) = xy(x - y)(x + y)
• Подставим: (x - y)(x + y)(x² + y²) + xy(x - y)(x + y)
• Вынесем (x - y)(x + y) за скобку: (x - y)(x + y)(x² + y² + xy)
• Ответ: (x - y)(x + y)(x² + xy + y²)

Надеюсь, теперь тебе стало понятнее! Если что-то осталось неясным, спрашивай.