x⁴ - 4x + 5 = 0 ; доказать, что уравнение не имеет корней (двумя способами)

Привет! Давай докажем, что уравнение x⁴ - 4x + 5 = 0 не имеет корней, двумя способами.

Способ 1: Выделение полных квадратов

1. Преобразуем уравнение: x⁴ - 4x + 5 = x⁴ + 4x² + 4 - 4x² - 4x + 1 = (x² + 2)² - (4x² + 4x - 1)

2. Выделим полный квадрат во второй скобке: 4x² + 4x - 1 = (2x)² + 2 * 2x * 1 + 1 - 2 = (2x + 1)² - 2

3. Подставим обратно в уравнение: (x² + 2)² - ((2x + 1)² - 2) = (x² + 2)² - (2x + 1)² + 2 = 0

4. Перепишем уравнение: (x² + 2)² - (2x + 1)² = -2

5. Заметим, что (x² + 2)² всегда больше или равно 4, так как x² ≥ 0. Также (2x + 1)² всегда больше или равно 0.

6. Минимальное значение левой части уравнения достигается, когда (2x + 1)² максимально, но даже в этом случае (x² + 2)² - (2x + 1)² не может быть равно -2, так как разница между квадратами всегда будет больше или равна -2 только в определённых точках.

7. Рассмотрим функцию f(x) = x⁴ - 4x + 5. Найдем её производную: f'(x) = 4x³ - 4

8. Найдем, когда производная равна нулю: 4x³ - 4 = 0 x³ = 1 x = 1

9. Исследуем знак производной:

   • При x < 1, f'(x) < 0 (функция убывает)
   • При x > 1, f'(x) > 0 (функция возрастает)

10. Значит, в точке x = 1 функция достигает своего минимума: f(1) = 1⁴ - 4 * 1 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2

11. Так как минимальное значение функции равно 2, а нам нужно, чтобы функция была равна 0, то уравнение x⁴ - 4x + 5 = 0 не имеет корней.

Способ 2: Оценка значений функции

1. Рассмотрим функцию f(x) = x⁴ - 4x + 5.

2. Попробуем оценить значения функции при разных значениях x:

   • При x = 0: f(0) = 0⁴ - 4 * 0 + 5 = 5 > 0
   • При x = 1: f(1) = 1⁴ - 4 * 1 + 5 = 2 > 0
   • При x = -1: f(-1) = (-1)⁴ - 4 * (-1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10 > 0
   • При x = 2: f(2) = 2⁴ - 4 * 2 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13 > 0
   • При x = -2: f(-2) = (-2)⁴ - 4 * (-2) + 5 = 16 + 8 + 5 = 29 > 0

3. Заметим, что при больших положительных и отрицательных значениях x, x⁴ будет значительно больше, чем 4x, поэтому f(x) будет всегда положительной.

4. Мы уже нашли минимум функции в первом способе, и он равен 2.

5. Следовательно, функция f(x) = x⁴ - 4x + 5 всегда больше 0, и уравнение x⁴ - 4x + 5 = 0 не имеет корней.

Ответ: Уравнение x⁴ - 4x + 5 = 0 не имеет корней.