Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у=4x-x квадрат и прямой, проходящей через точки (0, 4) и (4, 0).

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

1. Найдём уравнение прямой.

Нам даны две точки: (0, 4) и (4, 0). Уравнение прямой будем искать в виде y = kx + b.

• Подставим первую точку (0, 4): 4 = k * 0 + b, отсюда b = 4.
• Подставим вторую точку (4, 0): 0 = k * 4 + 4, отсюда 4k = -4, значит k = -1.

Итак, уравнение прямой: y = -x + 4.

2. Найдём точки пересечения параболы и прямой.

Чтобы найти точки пересечения, нужно решить систему уравнений:

y = 4x - x^2 y = -x + 4

Приравняем правые части уравнений:

4x - x^2 = -x + 4 x^2 - 5x + 4 = 0

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, корни: x1 = 1 и x2 = 4.

Теперь найдём соответствующие значения y:

• При x = 1: y = -1 + 4 = 3. Первая точка пересечения: (1, 3).
• При x = 4: y = -4 + 4 = 0. Вторая точка пересечения: (4, 0).

3. Вычислим площадь фигуры.

Площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, можно найти с помощью интеграла. Нужно вычислить интеграл от разности функций (параболы и прямой) в пределах от x = 1 до x = 4:

S = ∫[от 1 до 4] ((4x - x^2) - (-x + 4)) dx = ∫[от 1 до 4] (5x - x^2 - 4) dx

Теперь вычислим интеграл:

S = [ (5/2)x^2 - (1/3)x^3 - 4x ] [от 1 до 4]

Подставим пределы интегрирования:

S = ((5/2) * 4^2 - (1/3) * 4^3 - 4 * 4) - ((5/2) * 1^2 - (1/3) * 1^3 - 4 * 1) S = (40 - 64/3 - 16) - (5/2 - 1/3 - 4) S = (24 - 64/3) - (15/6 - 2/6 - 24/6) S = (72/3 - 64/3) - (-11/6) S = 8/3 + 11/6 S = 16/6 + 11/6 S = 27/6 = 9/2 = 4.5

Ответ: Площадь фигуры равна 4.5 квадратных единиц.